题目
v0 E-|||-h-|||-.B .如图所示，在y＞0的区域内存在沿y轴负方向、场强大小为E的匀强电场，在y＜0的区域内存在垂直于xOy平面向外、大小为B的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子a，从y轴上的P点以某一速度沿x轴正方向射出，已知粒子a进入磁场时的速度大小为v，方向与x轴正方向的夹角θ=60°。粒子a进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为P点纵坐标的一半。在粒子a进入磁场的同时，另一不带电粒子b也经x轴进入磁场，运动方向与粒子a进入磁场的方向相同。在粒子a没有离开磁场时，两粒子恰好发生正碰（碰撞前瞬间速度方向相反），不计两粒子重力。（1）求粒子a从P点射出的速度大小v0及P点的纵坐标h；（2）求粒子b经过x轴进入磁场时的横坐标xb及速度大小vb；（3）若两粒子碰后结合在一起，结合过程不损失质量和电荷量，要使结合后的粒子不能进入电场，求粒子b的质量应满足的条件。
如图所示，在y＞0的区域内存在沿y轴负方向、场强大小为E的匀强电场，在y＜0的区域内存在垂直于xOy平面向外、大小为B的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子a，从y轴上的P点以某一速度沿x轴正方向射出，已知粒子a进入磁场时的速度大小为v，方向与x轴正方向的夹角θ=60°。粒子a进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为P点纵坐标的一半。在粒子a进入磁场的同时，另一不带电粒子b也经x轴进入磁场，运动方向与粒子a进入磁场的方向相同。在粒子a没有离开磁场时，两粒子恰好发生正碰（碰撞前瞬间速度方向相反），不计两粒子重力。（1）求粒子a从P点射出的速度大小v0及P点的纵坐标h；
（2）求粒子b经过x轴进入磁场时的横坐标xb及速度大小vb；
（3）若两粒子碰后结合在一起，结合过程不损失质量和电荷量，要使结合后的粒子不能进入电场，求粒子b的质量应满足的条件。
题目解答
答案
解：（1）根据粒子a进入磁场的速度方向可知：v0=vcosθ，vy=vsinθ
解得：v0=$\frac{1}{2}v$，vy=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v
粒子a在电场中做类平抛运动，竖直方向是匀加速直线运动，因此：2ah=${v}_{y}^{2}$
根据牛顿第二定律可得：qE=ma
联立解得：h=$\frac{3m{v}^{2}}{8qE}$
（2）粒子a在磁场中圆周运动轨道半径为$\frac{1}{2}$h，由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{2mv}{qh}$
由类平抛运动可知：$\frac{1}{2}$tanθ=$\frac{y}{x}$，解得：x=$\frac{2\sqrt{3}h}{3}$=OA
粒子a的运动轨迹如图所示：
由几何关系可知：△BO′D为等边三角形，则BD=$\frac{1}{2}h$，且与x轴垂直，则有：
BC=$\frac{\frac{1}{2}h}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}h$，CD=$\frac{\frac{1}{2}h}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}h$
AB=2×$\frac{1}{2}h$×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}h$，
那么，OC=AB+BC-OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}h$+$\frac{\sqrt{3}}{6}h$-$\frac{2\sqrt{3}h}{3}$=0
所以粒子b经过x轴进入磁场时的横坐标xb为0
粒子a与粒子b正碰前需要的时间：
t=$\frac{1}{2}×T$=$\frac{1}{2}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{1}{2}×\frac{2πm}{q\frac{2mv}{qh}}$=$\frac{πh}{2v}$
粒子b做匀速直线运动，则：
vb=$\frac{CD}{t}$，解得：vb=$\frac{2\sqrt{3}v}{3π}$；
（3）由于两粒子发生正碰，满足动量守恒，规定粒子b的方向为正方向：
mbvb-mv=（mb+m）v共
要使得结合体没有进入电场，其中临界条件是所做的圆周运动刚好与x轴相切。
①若碰撞后速度方向与粒子a的运动方向相同，则有：mbvb＜mv，即mb＜$\frac{\sqrt{3}πm}{2}$
根据几何关系得出：r'+r'sin30°≤CDcos30°
解得：r'≤$\frac{h}{3}$
由洛伦兹力提供向心力可得：r'=$\frac{（m+{m}_{b}）{v}_{共}}{qB}$
联立解得：mb≥$\frac{\sqrt{3}πm}{6}$
可得粒子b的质量应满足：$\frac{\sqrt{3}πm}{6}$≤mb＜$\frac{\sqrt{3}πm}{2}$；
②若碰撞后速度方向与粒子b的运动方向相同，则有：mbvb＞mv，即mb＞$\frac{\sqrt{3}πm}{2}$
根据几何关系得出：r″-r″sin30°≤CDcos30°
解得：r″≤h
同理：r″=$\frac{（m+{m}_{b}）{v}_{共}}{qB}$
联立解得：mb≤$\frac{3\sqrt{3}πm}{2}$
可得粒子b的质量应满足：$\frac{\sqrt{3}πm}{2}$＜mb≤$\frac{3\sqrt{3}πm}{2}$.
综上分析可得粒子b的质量应满足：$\frac{\sqrt{3}πm}{6}$≤mb≤$\frac{3\sqrt{3}πm}{2}$.
答：（1）粒子a从P点射出的速度大小为$\frac{1}{2}v$，P点的纵坐标h为$\frac{3m{v}^{2}}{8qE}$；
（2）粒子b经过x轴进入磁场时的横坐标为0，速度大小为$\frac{2\sqrt{3}v}{3π}$；
（3）粒子b的质量应满足的条件为$\frac{\sqrt{3}πm}{6}$≤mb≤$\frac{3\sqrt{3}πm}{2}$。
解得：v0=$\frac{1}{2}v$，vy=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v
粒子a在电场中做类平抛运动，竖直方向是匀加速直线运动，因此：2ah=${v}_{y}^{2}$
根据牛顿第二定律可得：qE=ma
联立解得：h=$\frac{3m{v}^{2}}{8qE}$
（2）粒子a在磁场中圆周运动轨道半径为$\frac{1}{2}$h，由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{2mv}{qh}$
由类平抛运动可知：$\frac{1}{2}$tanθ=$\frac{y}{x}$，解得：x=$\frac{2\sqrt{3}h}{3}$=OA
粒子a的运动轨迹如图所示：
由几何关系可知：△BO′D为等边三角形，则BD=$\frac{1}{2}h$，且与x轴垂直，则有：
BC=$\frac{\frac{1}{2}h}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}h$，CD=$\frac{\frac{1}{2}h}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}h$
AB=2×$\frac{1}{2}h$×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}h$，
那么，OC=AB+BC-OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}h$+$\frac{\sqrt{3}}{6}h$-$\frac{2\sqrt{3}h}{3}$=0
所以粒子b经过x轴进入磁场时的横坐标xb为0
粒子a与粒子b正碰前需要的时间：
t=$\frac{1}{2}×T$=$\frac{1}{2}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{1}{2}×\frac{2πm}{q\frac{2mv}{qh}}$=$\frac{πh}{2v}$
粒子b做匀速直线运动，则：
vb=$\frac{CD}{t}$，解得：vb=$\frac{2\sqrt{3}v}{3π}$；
（3）由于两粒子发生正碰，满足动量守恒，规定粒子b的方向为正方向：
mbvb-mv=（mb+m）v共
要使得结合体没有进入电场，其中临界条件是所做的圆周运动刚好与x轴相切。
①若碰撞后速度方向与粒子a的运动方向相同，则有：mbvb＜mv，即mb＜$\frac{\sqrt{3}πm}{2}$
根据几何关系得出：r'+r'sin30°≤CDcos30°
解得：r'≤$\frac{h}{3}$
由洛伦兹力提供向心力可得：r'=$\frac{（m+{m}_{b}）{v}_{共}}{qB}$
联立解得：mb≥$\frac{\sqrt{3}πm}{6}$
可得粒子b的质量应满足：$\frac{\sqrt{3}πm}{6}$≤mb＜$\frac{\sqrt{3}πm}{2}$；
②若碰撞后速度方向与粒子b的运动方向相同，则有：mbvb＞mv，即mb＞$\frac{\sqrt{3}πm}{2}$
根据几何关系得出：r″-r″sin30°≤CDcos30°
解得：r″≤h
同理：r″=$\frac{（m+{m}_{b}）{v}_{共}}{qB}$
联立解得：mb≤$\frac{3\sqrt{3}πm}{2}$
可得粒子b的质量应满足：$\frac{\sqrt{3}πm}{2}$＜mb≤$\frac{3\sqrt{3}πm}{2}$.
综上分析可得粒子b的质量应满足：$\frac{\sqrt{3}πm}{6}$≤mb≤$\frac{3\sqrt{3}πm}{2}$.
答：（1）粒子a从P点射出的速度大小为$\frac{1}{2}v$，P点的纵坐标h为$\frac{3m{v}^{2}}{8qE}$；
（2）粒子b经过x轴进入磁场时的横坐标为0，速度大小为$\frac{2\sqrt{3}v}{3π}$；
（3）粒子b的质量应满足的条件为$\frac{\sqrt{3}πm}{6}$≤mb≤$\frac{3\sqrt{3}πm}{2}$。