题目
设 n 阶方阵 A 的秩 r(A) = r geq 1，则存在 n 维列向量 alpha_1, ..., alpha_r, beta_1, ..., beta_r，使得 A = alpha_1 beta_1^T + ... + alpha_r beta_r^T.
设 $n$ 阶方阵 A 的秩 $r(A) = r \geq 1$，则存在 $n$ 维列向量 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r, \beta_1, \cdots, \beta_r$，使得 $A = \alpha_1 \beta_1^T + \cdots + \alpha_r \beta_r^T$.
题目解答
答案
设 $ n $ 阶方阵 $ A $ 的秩为 $ r \geqslant 1 $，则 $ A $ 可分解为 $ A = BC $，其中 $ B $ 为 $ n \times r $ 矩阵，$ C $ 为 $ r \times n $ 矩阵，且 $ \text{rank}(B) = \text{rank}(C) = r $。
将 $ B $ 和 $ C $ 分解为列向量和行向量：
- $ B = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r] $，
- $ C = \begin{bmatrix} \beta_1^T \\ \beta_2^T \\ \vdots \\ \beta_r^T \end{bmatrix} $。
计算 $ A = BC $ 得：
\[
A = \alpha_1 \beta_1^T + \alpha_2 \beta_2^T + \cdots + \alpha_r \beta_r^T.
\]
或通过奇异值分解（SVD），$ A = U \Sigma V^T $，其中 $ \Sigma $ 为对角矩阵，对角线元素为奇异值，可表示为 $ r $ 个秩为 1 的矩阵和。
因此，原陈述正确。
\[
\boxed{\text{正确}}
\]