题目
例题 10-7 波长为500nm的单色平行光垂直地照射在一光栅常量为 .0times (10)^-3cm 的-|||-衍射光栅上。在光栅后面放置一焦距为2.0m的透镜把衍射光会聚在接收屏上。求第一级-|||-谱线与第三级谱线之间的距离。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定光栅方程
光栅方程为 $(a+b)\sin \varphi =k\lambda$，其中 $a+b$ 是光栅常量，$\varphi$ 是衍射角，$k$ 是衍射级数，$\lambda$ 是入射光的波长。
步骤 2：计算第一级和第三级谱线的衍射角
对于第一级谱线，$k=1$，则 $\sin {\varphi }_{1}=\dfrac {\lambda }{a+b}$。
对于第三级谱线，$k=3$，则 $\sin {\varphi }_{2}=\dfrac {3\lambda }{a+b}$。
步骤 3：计算第一级和第三级谱线离中央亮条纹的距离
设第一级谱线和第三级谱线离中央亮条纹的距离分别为 $x_1$ 和 $x_2$，透镜的焦距为 $f$，则有 $x_1=f\tan \varphi_1$ 和 $x_2=f\tan \varphi_2$。由于 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 很小，可以近似认为 $\tan \varphi_1 = \sin \varphi_1$ 和 $\tan \varphi_2 = \sin \varphi_2$。
步骤 4：计算第一级谱线与第三级谱线之间的距离
第一级谱线与第三级谱线之间的距离为 $\Delta x = x_2 - x_1 = f \sin \varphi_2 - f \sin \varphi_1 = f \left( \dfrac{3\lambda}{a+b} - \dfrac{\lambda}{a+b} \right) = 2f \dfrac{\lambda}{a+b}$。
光栅方程为 $(a+b)\sin \varphi =k\lambda$，其中 $a+b$ 是光栅常量，$\varphi$ 是衍射角，$k$ 是衍射级数，$\lambda$ 是入射光的波长。
步骤 2：计算第一级和第三级谱线的衍射角
对于第一级谱线，$k=1$，则 $\sin {\varphi }_{1}=\dfrac {\lambda }{a+b}$。
对于第三级谱线，$k=3$，则 $\sin {\varphi }_{2}=\dfrac {3\lambda }{a+b}$。
步骤 3：计算第一级和第三级谱线离中央亮条纹的距离
设第一级谱线和第三级谱线离中央亮条纹的距离分别为 $x_1$ 和 $x_2$，透镜的焦距为 $f$，则有 $x_1=f\tan \varphi_1$ 和 $x_2=f\tan \varphi_2$。由于 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 很小，可以近似认为 $\tan \varphi_1 = \sin \varphi_1$ 和 $\tan \varphi_2 = \sin \varphi_2$。
步骤 4：计算第一级谱线与第三级谱线之间的距离
第一级谱线与第三级谱线之间的距离为 $\Delta x = x_2 - x_1 = f \sin \varphi_2 - f \sin \varphi_1 = f \left( \dfrac{3\lambda}{a+b} - \dfrac{\lambda}{a+b} \right) = 2f \dfrac{\lambda}{a+b}$。