5-13 有两个同方向的简谐振动,它们的表达式如下:-|||-_(1)=0.05cos (10t+dfrac (3)(4)pi ), _(2)=0.06cos (10t+dfrac (1)(4)pi )-|||-(1)求它们合成振动的振幅和初相位。-|||-(2)若另有一振动 _(3)=0.07cos (10t+(varphi )_(0)), φ0为何值时, _(1)+(x)_(3) 的振幅为最大?为-|||-何值时, _(2)+(x)_(3) 的振幅为最小?(式中x的单位为m,t的单位为s)

步骤 1：合成振动的振幅和初相位
首先，我们利用合成振动的公式来求解两个简谐振动的合成。对于两个同方向的简谐振动，其合成振动的振幅A和初相位φ可以通过以下公式计算：
$$
A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_1 - \varphi_2)}
$$
$$
\tan(\varphi) = \frac{A_1\sin(\varphi_1) + A_2\sin(\varphi_2)}{A_1\cos(\varphi_1) + A_2\cos(\varphi_2)}
$$
其中，$A_1$和$A_2$分别是两个简谐振动的振幅，$\varphi_1$和$\varphi_2$分别是它们的初相位。

步骤 2：计算合成振动的振幅和初相位
将给定的振动${x}_{1}=0.05\cos (10t+\dfrac {3}{4}\pi )$和${x}_{2}=0.06\cos (10t+\dfrac {1}{4}\pi )$的参数代入上述公式中，计算合成振动的振幅和初相位。
$$
A = \sqrt{0.05^2 + 0.06^2 + 2 \times 0.05 \times 0.06 \times \cos(\dfrac{3}{4}\pi - \dfrac{1}{4}\pi)}
$$
$$
\tan(\varphi) = \frac{0.05\sin(\dfrac{3}{4}\pi) + 0.06\sin(\dfrac{1}{4}\pi)}{0.05\cos(\dfrac{3}{4}\pi) + 0.06\cos(\dfrac{1}{4}\pi)}
$$

步骤 3：计算${x}_{1}+{x}_{3}$和${x}_{2}+{x}_{3}$的振幅
对于${x}_{1}+{x}_{3}$的振幅为最大，${x}_{3}$的相位${\varphi }_{0}$应与${x}_{1}$的相位相同，即${\varphi }_{0} = \dfrac{3}{4}\pi + 2k\pi$，其中k为整数。
对于${x}_{2}+{x}_{3}$的振幅为最小，${x}_{3}$的相位${\varphi }_{0}$应与${x}_{2}$的相位相差$\pi$，即${\varphi }_{0} = \dfrac{1}{4}\pi + \pi + 2k\pi = \dfrac{5}{4}\pi + 2k\pi$，其中k为整数。