题目
8.21 试根据热力学公式 =int dfrac ({C)_(v)}(T)dT, 求低温下金属中自由电子气体的熵.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解自由电子气体模型
自由电子气体模型是固体物理中描述金属中电子行为的一种模型。在该模型中，电子被视为在金属晶格中自由移动的粒子，不考虑电子之间的相互作用。
步骤 2：确定自由电子气体的内能
自由电子气体的内能 $U$ 可以通过计算电子的动能来确定。在低温下，电子的动能主要由费米能级附近的电子贡献，因此内能可以表示为 $U = \int_{0}^{\infty} E f(E) g(E) dE$，其中 $f(E)$ 是费米-狄拉克分布函数，$g(E)$ 是态密度。
步骤 3：计算自由电子气体的热容
热容 $C_v$ 是内能对温度的偏导数，即 $C_v = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$。在低温下，热容主要由费米能级附近的电子贡献，因此可以表示为 $C_v = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_V f(E) g(E) dE$。
步骤 4：计算熵
根据热力学公式 $S = \int \frac{C_v}{T} dT$，可以计算自由电子气体的熵。在低温下，熵主要由费米能级附近的电子贡献，因此可以表示为 $S = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT$。
步骤 5：计算低温下自由电子气体的熵
在低温下，自由电子气体的熵可以表示为 $S = Nk \frac{\pi^2}{2} \frac{kT}{\mu(0)}$，其中 $N$ 是电子数，$k$ 是玻尔兹曼常数，$\mu(0)$ 是费米能级。
自由电子气体模型是固体物理中描述金属中电子行为的一种模型。在该模型中，电子被视为在金属晶格中自由移动的粒子，不考虑电子之间的相互作用。
步骤 2：确定自由电子气体的内能
自由电子气体的内能 $U$ 可以通过计算电子的动能来确定。在低温下，电子的动能主要由费米能级附近的电子贡献，因此内能可以表示为 $U = \int_{0}^{\infty} E f(E) g(E) dE$，其中 $f(E)$ 是费米-狄拉克分布函数，$g(E)$ 是态密度。
步骤 3：计算自由电子气体的热容
热容 $C_v$ 是内能对温度的偏导数，即 $C_v = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$。在低温下，热容主要由费米能级附近的电子贡献，因此可以表示为 $C_v = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_V f(E) g(E) dE$。
步骤 4：计算熵
根据热力学公式 $S = \int \frac{C_v}{T} dT$，可以计算自由电子气体的熵。在低温下，熵主要由费米能级附近的电子贡献，因此可以表示为 $S = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{T} \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT$。
步骤 5：计算低温下自由电子气体的熵
在低温下，自由电子气体的熵可以表示为 $S = Nk \frac{\pi^2}{2} \frac{kT}{\mu(0)}$，其中 $N$ 是电子数，$k$ 是玻尔兹曼常数，$\mu(0)$ 是费米能级。