9.15 试用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程、内能、熵和化学势.

步骤 1：巨正则分布的定义
巨正则分布描述了系统在给定温度、体积和化学势下的统计性质。巨正则分布函数为：
$$
\ln \Xi = \ln \sum_{N=0}^{\infty} \sum_{\{n_i\}} e^{-\beta (E_{\{n_i\}} - \mu N)}
$$
其中，$\Xi$ 是巨正则配分函数，$E_{\{n_i\}}$ 是系统能量，$\mu$ 是化学势，$\beta = 1/(k_B T)$，$k_B$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度，$N$ 是粒子数，$\{n_i\}$ 是粒子数分布。

步骤 2：单原子分子理想气体的巨正则配分函数
对于单原子分子理想气体，粒子的能量只与动量有关，不考虑粒子间的相互作用。因此，单原子分子理想气体的巨正则配分函数可以表示为：
$$
\ln \Xi = \ln \sum_{N=0}^{\infty} \frac{1}{N!} \left( \frac{V}{\lambda^3} \right)^N e^{\beta \mu N}
$$
其中，$\lambda = h / \sqrt{2 \pi m k_B T}$ 是德布罗意波长，$h$ 是普朗克常数，$m$ 是粒子质量，$V$ 是体积。

步骤 3：物态方程
物态方程描述了系统在给定温度、体积和粒子数下的压力。对于单原子分子理想气体，物态方程可以表示为：
$$
PV = \overline{N} k_B T
$$
其中，$\overline{N}$ 是平均粒子数，$P$ 是压力，$V$ 是体积，$T$ 是温度。

步骤 4：内能
内能描述了系统在给定温度、体积和粒子数下的总能量。对于单原子分子理想气体，内能可以表示为：
$$
U = \frac{3}{2} \overline{N} k_B T
$$
其中，$\overline{N}$ 是平均粒子数，$k_B$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度。

步骤 5：熵
熵描述了系统在给定温度、体积和粒子数下的无序度。对于单原子分子理想气体，熵可以表示为：
$$
S = \frac{3}{2} \overline{N} k_B \ln \left( \frac{V}{\lambda^3} \right) + \overline{N} k_B \left( \ln \left( \frac{2 \pi m k_B T}{h^2} \right)^{3/2} + \frac{5}{2} \right)
$$
其中，$\overline{N}$ 是平均粒子数，$k_B$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度，$\lambda$ 是德布罗意波长，$V$ 是体积。

步骤 6：化学势
化学势描述了系统在给定温度、体积和粒子数下的粒子数变化。对于单原子分子理想气体，化学势可以表示为：
$$
\mu = -k_B T \ln \left( \frac{V}{\lambda^3} \right)
$$
其中，$k_B$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度，$\lambda$ 是德布罗意波长，$V$ 是体积。