题目

2020年12月17日,嫦娥五号成功返回,标志着中国全面掌握无人地月往返系列技术。已知地球半径-|||-为月球半径的P倍,地球质量为月球质量的q倍。若探测器在地球表面以某一初速度竖直向上射出一物体,-|||-忽略空气阻力,其上升的最大高度为h0。忽略星球自转的影响,该探测器在月球表面以相同的初速度竖直-|||-向上射出同一物体,其上升的最大高度为 ()-|||-A. dfrac (q{h)_(0)}({p)^2} B. dfrac ({h)_(0)(P)^2}(q) C. dfrac ({h)_(0)}({{q)_(p{q)^2}} D.qp^2h0

题目解答

答案

解析

本题考查万有引力定律和竖直上抛运动的知识。解题的关键思路是先根据万有引力等于重力求出地球和月球表面的重力加速度之比，再结合竖直上抛运动的规律求出物体在月球表面上升的最大高度。

  1. 求地球和月球表面的重力加速度：
    • 设月球质量为$M_{月}$，半径为$R_{月}$，月球表面重力加速度为$g_{月}$；地球质量为$M_{地}$，半径为$R_{地}$，地球表面重力加速度为$g_{地}$。
    • 根据万有引力等于重力，即$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg$（其中$G$为引力常量，$m$为物体质量），可得月球表面重力加速度$g_{月}=\frac{GM_{月}}{R_{月}^{2}}$，地球表面重力加速度$g_{地}=\frac{GM_{地}}{R_{地}^{2}}$。
    • 已知地球半径为月球半径的$p$倍，即$R_{地}=pR_{月}$；地球质量为月球质量的$q$倍，即$M_{地}=qM_{月}$。
    • 将$R_{地}=pR_{月}$和$M_{地}=qM_{月}$代入$g_{地}=\frac{GM_{地}}{R_{地}^{2}}$，可得$g_{地}=\frac{G(qM_{月})}{(pR_{月})^{2}}=\frac{qGM_{月}}{p^{2}R_{月}^{2}}$。
    • 那么地球和月球表面重力加速度之比为$\frac{g_{地}}{g_{月}}=\frac{\frac{qGM_{月}}{p^{2}R_{月}^{2}}}{\frac{GM_{月}}{R_{月}^{2}}}$，化简可得$\frac{g_{地}}{g_{月}}=\frac{q}{p^{2}}$。
  2. 根据竖直上抛运动规律求高度：
    • 对于竖直上抛运动，上升的最大高度$h=\frac{v_{0}^{2}}{2g}$（其中$v_{0}$为初速度，$g$为重力加速度）。
    • 设物体在地球上上升的最大高度为$h_{0}$，在月球上上升的最大高度为$h'$，且初速度$v_{0}$相同。
    • 则$h_{0}=\frac{v_{0}^{2}}{2g_{地}}$，$h'=\frac{v_{0}^{2}}{2g_{月}}$。
    • 两式相除可得$\frac{h'}{h_{0}}=\frac{\frac{v_{0}^{2}}{2g_{月}}}{\frac{v_{0}^{2}}{2g_{地}}}=\frac{g_{地}}{g_{月}}$。
    • 由前面已求得$\frac{g_{地}}{g_{月}}=\frac{q}{p^{2}}$，所以$\frac{h'}{h_{0}}=\frac{q}{p^{2}}$，即$h'=\frac{qh_{0}}{p^{2}}$。