题目
一质点在力overrightarrow (F)(x,y)=(3x+(y)^2)overrightarrow (i)+2xyoverrightarrow (j) xyj的作用下沿椭圆overrightarrow (F)(x,y)=(3x+(y)^2)overrightarrow (i)+2xyoverrightarrow (j) xyj的负向旋转一周，求变力对质点所做的功。
一质点在力
的作用下沿椭圆
的负向旋转一周，求变力对质点所做的功。
题目解答
答案
根据功的计算公式W=Fx (其中x代表位移)。由于物体回到初始点，所以物体的位移为0。因此变力对质点所做的功为0。
解析
步骤 1：参数化椭圆
椭圆${x}^{2}+4{y}^{2}=9$可以参数化为$x=3\cos t$和$y=\frac{3}{2}\sin t$，其中$t$是参数，$t\in[0,2\pi]$。由于题目要求沿椭圆的负向旋转一周，因此$t$的取值范围为$[0,2\pi]$，但方向相反，即$t$从$2\pi$到$0$。
步骤 2：计算力的分量
根据力$\overrightarrow {F}(x,y)=(3x+{y}^{2})\overrightarrow {i}+2xy\overrightarrow {j}$，将$x=3\cos t$和$y=\frac{3}{2}\sin t$代入，得到力的分量为$F_x=3(3\cos t)+(\frac{3}{2}\sin t)^2$和$F_y=2(3\cos t)(\frac{3}{2}\sin t)$。
步骤 3：计算功
根据功的计算公式$W=\int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}$，其中$d\overrightarrow{r}=dx\overrightarrow{i}+dy\overrightarrow{j}$，$dx=-3\sin t dt$，$dy=\frac{3}{2}\cos t dt$。因此，$W=\int_{2\pi}^{0}[(3(3\cos t)+(\frac{3}{2}\sin t)^2)(-3\sin t)+2(3\cos t)(\frac{3}{2}\sin t)(\frac{3}{2}\cos t)]dt$。
步骤 4：计算积分
计算上述积分，得到$W=\int_{2\pi}^{0}[-27\cos t\sin t-9\sin^3 t+9\cos^2 t\sin t]dt$。由于$\cos t\sin t$和$\sin^3 t$的积分在$[0,2\pi]$区间内为0，因此$W=\int_{2\pi}^{0}9\cos^2 t\sin t dt$。令$u=\cos t$，则$du=-\sin t dt$，因此$W=\int_{-1}^{1}-9u^2 du=-9\int_{-1}^{1}u^2 du=-9[\frac{u^3}{3}]_{-1}^{1}=-9[\frac{1}{3}-\frac{-1}{3}]=0$。
椭圆${x}^{2}+4{y}^{2}=9$可以参数化为$x=3\cos t$和$y=\frac{3}{2}\sin t$，其中$t$是参数，$t\in[0,2\pi]$。由于题目要求沿椭圆的负向旋转一周，因此$t$的取值范围为$[0,2\pi]$，但方向相反，即$t$从$2\pi$到$0$。
步骤 2：计算力的分量
根据力$\overrightarrow {F}(x,y)=(3x+{y}^{2})\overrightarrow {i}+2xy\overrightarrow {j}$，将$x=3\cos t$和$y=\frac{3}{2}\sin t$代入，得到力的分量为$F_x=3(3\cos t)+(\frac{3}{2}\sin t)^2$和$F_y=2(3\cos t)(\frac{3}{2}\sin t)$。
步骤 3：计算功
根据功的计算公式$W=\int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}$，其中$d\overrightarrow{r}=dx\overrightarrow{i}+dy\overrightarrow{j}$，$dx=-3\sin t dt$，$dy=\frac{3}{2}\cos t dt$。因此，$W=\int_{2\pi}^{0}[(3(3\cos t)+(\frac{3}{2}\sin t)^2)(-3\sin t)+2(3\cos t)(\frac{3}{2}\sin t)(\frac{3}{2}\cos t)]dt$。
步骤 4：计算积分
计算上述积分，得到$W=\int_{2\pi}^{0}[-27\cos t\sin t-9\sin^3 t+9\cos^2 t\sin t]dt$。由于$\cos t\sin t$和$\sin^3 t$的积分在$[0,2\pi]$区间内为0，因此$W=\int_{2\pi}^{0}9\cos^2 t\sin t dt$。令$u=\cos t$，则$du=-\sin t dt$，因此$W=\int_{-1}^{1}-9u^2 du=-9\int_{-1}^{1}u^2 du=-9[\frac{u^3}{3}]_{-1}^{1}=-9[\frac{1}{3}-\frac{-1}{3}]=0$。