题目
一根4.0 cm长的针轻轻浮在^circ C的水面上,如果针由密度为^circ C的不锈钢制成,那么一根能漂浮起来的针的最大直径约为多少(水的表面张力系数为0.073 N/m)A.0.78 mmB.1.17 mmC.1.56 mmD.2.34 mm
一根4.0 cm长的针轻轻浮在
的水面上,如果针由密度为
的不锈钢制成,那么一根能漂浮起来的针的最大直径约为多少(水的表面张力系数为0.073 N/m)
A.0.78 mm
B.1.17 mm
C.1.56 mm
D.2.34 mm
题目解答
答案
要计算能够漂浮在水面上的最大直径，我们可以使用以下步骤：
确定针的体积与质量：
设针的直径为 ( d )，则针的半径
。
针的长度
针的体积
针的质量
确定针受到的重力：
重力
其中
确定水面的表面张力：
表面张力
，其中
，( L ) 为针的接触长度。对于长针来说，接触长度
。
平衡条件：
当针漂浮时，受到的重力等于表面张力：
即：
代入公式：
将体积 ( V ) 代入得到：
化简并求解：
计算：
根据以上计算，选项中最接近的是 B. 1.17 mm。
解析
步骤 1：确定针的体积与质量
设针的直径为 ( d )，则针的半径$(r=\dfrac {d}{2})$。
针的长度($L=0.04m$
针的体积$(V=\pi {r}^{2}L=\pi {(\dfrac {d}{2})}^{2}\cdot 0.04)$
针的质量$(m={\rho }_{sted}\cdot V=7900\cdot V)$
步骤 2：确定针受到的重力
重力$({F}_{g}=mg={\rho }_{sted}\cdot V\cdot g)$
其中$g\approx 9.81m/{s}^{2}$
步骤 3：确定水面的表面张力
表面张力$({F}_{s}=0\cdot L)$，其中$(0=0.073N/m)$，( L ) 为针的接触长度。对于长针来说，接触长度$L\approx 0.04m)$。
步骤 4：平衡条件
当针漂浮时，受到的重力等于表面张力：
[${F}_{9}={F}_{8}J$
即：
$[ \rho stetl\cdot v\cdot g=\sigma \cdot L] $
代入公式：
将体积 ( V ) 代入得到：
$[ 7900\cdot {(\pi {(\dfrac {d}{2})}^{2}\cdot 0.04})$ .$9.81=0.073\cdot 0.04] $
化简并求解：
$[ 7900\cdot \pi \cdot {(\dfrac {d}{2})}^{2}\cdot 0.04\cdot 9.81=0.073\cdot 0.04] $.
$[ -7900\cdot \pi \cdot \dfrac {{d}^{2}}{4}\cdot 0.04\cdot 9.81=0.073\cdot 0.04] $.
$[ \rightarrow 7900\cdot \pi \cdot 9.81\cdot \dfrac {{d}^{2}}{4}=0.073] $
$[ \rightarrow {d}^{2}=\dfrac {0.073\cdot 4}{7900\cdot \pi \cdot 9.81}] $
$[ d=\sqrt {\dfrac {0.292}{7900\cdot \pi \cdot 9.81}}] $
计算：
$(1)\approx \sqrt {\dfrac {0.292}{244.613}}\approx \sqrt {1.194\times {10}^{-5}}\approx 1.17\times {10}^{-8}m=1.1779971$
根据以上计算，选项中最接近的是 B. 1.17 mm。
设针的直径为 ( d )，则针的半径$(r=\dfrac {d}{2})$。
针的长度($L=0.04m$
针的体积$(V=\pi {r}^{2}L=\pi {(\dfrac {d}{2})}^{2}\cdot 0.04)$
针的质量$(m={\rho }_{sted}\cdot V=7900\cdot V)$
步骤 2：确定针受到的重力
重力$({F}_{g}=mg={\rho }_{sted}\cdot V\cdot g)$
其中$g\approx 9.81m/{s}^{2}$
步骤 3：确定水面的表面张力
表面张力$({F}_{s}=0\cdot L)$，其中$(0=0.073N/m)$，( L ) 为针的接触长度。对于长针来说，接触长度$L\approx 0.04m)$。
步骤 4：平衡条件
当针漂浮时，受到的重力等于表面张力：
[${F}_{9}={F}_{8}J$
即：
$[ \rho stetl\cdot v\cdot g=\sigma \cdot L] $
代入公式：
将体积 ( V ) 代入得到：
$[ 7900\cdot {(\pi {(\dfrac {d}{2})}^{2}\cdot 0.04})$ .$9.81=0.073\cdot 0.04] $
化简并求解：
$[ 7900\cdot \pi \cdot {(\dfrac {d}{2})}^{2}\cdot 0.04\cdot 9.81=0.073\cdot 0.04] $.
$[ -7900\cdot \pi \cdot \dfrac {{d}^{2}}{4}\cdot 0.04\cdot 9.81=0.073\cdot 0.04] $.
$[ \rightarrow 7900\cdot \pi \cdot 9.81\cdot \dfrac {{d}^{2}}{4}=0.073] $
$[ \rightarrow {d}^{2}=\dfrac {0.073\cdot 4}{7900\cdot \pi \cdot 9.81}] $
$[ d=\sqrt {\dfrac {0.292}{7900\cdot \pi \cdot 9.81}}] $
计算：
$(1)\approx \sqrt {\dfrac {0.292}{244.613}}\approx \sqrt {1.194\times {10}^{-5}}\approx 1.17\times {10}^{-8}m=1.1779971$
根据以上计算，选项中最接近的是 B. 1.17 mm。