题目

35/35 问答题已知lim_(xto1)(x^2+ax+b)/(x-1)=3，求常数a和b的值

35/35 问答题 已知$\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+ax+b}{x-1}=3$，求常数a和b的值

题目解答

答案

令 $f(x) = x^2 + ax + b$，由题意 $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 3$。

  1. 分子为零：
    由于分母趋近于0，分子 $f(1) = 1 + a + b$ 也应为0，即 $1 + a + b = 0$。

  2. 因式分解：
    $f(x) = (x-1)(x + a + 1)$，展开得 $f(x) = x^2 + (a+1-1)x - (a+1) = x^2 + ax - a - 1$。
    比较系数得 $b = -a - 1$。

  3. 计算极限：
    $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x + a + 1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x + a + 1) = a + 2 = 3$
    解得 $a = 1$，代入得 $b = -2$。

答案：$a = 1$，$b = -2$。

解析

本题考查极限的计算以及多项式因式分解的知识。解题的关键思路是根据极限存在且分母极限为$0$，得出分子极限也为$0$，进而得到关于$a$、$b$的一个方程，再对分子进行因式分解，化简极限式子，得到关于$a$的方程，最后联立求解$a$、$b$的值。

  1. 根据极限存在的条件确定分子极限为$0$：
    已知$\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+ax+b}{x - 1}=3$，当$x\to1$时，分母$x - 1\to0$。因为该极限存在且为$3$，若分子极限不为$0$，则整个分式的极限为无穷大，这与已知极限值为$3$矛盾，所以分子$x^{2}+ax+b$在$x\to1$时极限也为$0$，即$\lim_{x\to1}(x^{2}+ax+b)=0$。
    将$x = 1$代入$x^{2}+ax+b$可得：$1^{2}+a\times1 + b = 0$，整理得$1 + a + b = 0$，移项可得$b = -a - 1$。
  2. 对分子进行因式分解：
    因为$x = 1$是方程$x^{2}+ax+b = 0$的一个根，所以$(x - 1)$是$x^{2}+ax+b$的一个因式。设$x^{2}+ax+b=(x - 1)(x + m)$，将右边展开可得：
    $(x - 1)(x + m)=x^{2}+mx - x - m=x^{2}+(m - 1)x - m$
    对比$x^{2}+ax+b$与$x^{2}+(m - 1)x - m$的系数，可得$a = m - 1$，$b = -m$。
    由$b = -a - 1$，将$a = m - 1$，$b = -m$代入可得：$-m = -(m - 1) - 1$，等式恒成立。
    又因为$a = m - 1$，所以$m = a + 1$，则$x^{2}+ax+b=(x - 1)(x + a + 1)$。
  3. 化简极限式子并求解$a$的值：
    将$x^{2}+ax+b=(x - 1)(x + a + 1)$代入原式$\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+ax+b}{x - 1}$可得：
    $\lim_{x\to1}\frac{(x - 1)(x + a + 1)}{x - 1}$
    因为$x\to1$时，$x\neq1$，所以可以约去分子分母的$x - 1$，得到$\lim_{x\to1}(x + a + 1)$。
    将$x = 1$代入$x + a + 1$可得：$1 + a + 1 = a + 2$。
    已知$\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+ax+b}{x - 1}=3$，所以$a + 2 = 3$，移项可得$a = 3 - 2 = 1$。
  4. 求解$b$的值：
    将$a = 1$代入$b = -a - 1$可得：$b = -1 - 1 = -2$。