15 填空 (2分) 距河岸(看成直线)600m处有一艘静止的船,船上的探照灯以转速为ω=0.05rad/s转动,当光束与岸边成30度角时,光束沿岸边移动的速度v=____m/s.(说明,单位已给,只需填入数值。答案不能用科学计数法和分数表示,只能用数值表示,结果用整数表示,如:230)

考查要点：本题主要考查相关变化率的应用，涉及三角函数的导数运算，以及物理中的角速度与线速度转换。

解题核心思路：

1. 建立几何关系：利用直角三角形中船到河岸的距离（对边）与光束在岸上的投影（邻边）的关系，建立变量$x$与角度$\theta$的函数关系式。
2. 对时间求导：通过链式法则，将角度随时间的变化率（角速度）与投影点的移动速度联系起来。
3. 代入已知条件：将角度$\theta = 30^\circ$和角速度$\omega = 0.05 \, \text{rad/s}$代入导数表达式，计算最终速度。

破题关键点：

• 正确选择几何模型：明确$x = d \cdot \tan \theta$的几何意义。
• 准确求导：注意$\frac{d}{d\theta} (\tan \theta) = \sec^2 \theta$的导数公式。
• 三角函数值的计算：$\sec^2 30^\circ = \frac{4}{3}$是关键中间量。

设光束在河岸上的投影点为$x$，根据三角函数关系：
$x = d \cdot \tan \theta$
其中$d = 600 \, \text{m}$为船到河岸的距离，$\theta$为光束与河岸的夹角。

对时间求导：
对$x$关于时间$t$求导，得：
$\frac{dx}{dt} = d \cdot \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt}$
其中$\frac{d\theta}{dt} = \omega = 0.05 \, \text{rad/s}$为角速度。

代入已知条件：
当$\theta = 30^\circ$时，$\sec^2 30^\circ = \frac{1}{\cos^2 30^\circ} = \frac{4}{3}$，代入公式：
$\frac{dx}{dt} = 600 \cdot \frac{4}{3} \cdot 0.05 = 40 \, \text{m/s}$