真空中均匀带电球体,其电荷密度为,半径为a,试求(1)球内任一点的电位移矢量(2)球外任一点的电场强度

考查要点：本题主要考查均匀带电球体的电位移矢量和电场强度的计算，需要运用高斯定理结合球对称性进行求解。

解题核心思路：

1. 电位移矢量：利用高斯定理，通过计算高斯面内的总自由电荷，结合球对称性，求出电位移矢量的径向分量。
2. 电场强度：在真空中，电位移矢量与电场强度的关系为 $D = \varepsilon_0 E$，结合高斯定理求出电场强度的径向分量。

破题关键点：

• 球内电位移：高斯面内电荷为球体内部均匀分布的自由电荷，需计算半径 $r < a$ 时的总电荷。
• 球外电场强度：高斯面外总电荷为整个球体的电荷，需结合电位移与电场的关系推导。

第（1）题：球内任一点的电位移矢量

应用高斯定理

根据高斯定理，电位移矢量的通量等于高斯面内的自由电荷：
$\oint \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{enc}}$
取半径为 $r$（$r < a$）的同心球面为高斯面，电位移矢量 $\mathbf{D}$ 的大小与方向均沿径向，通量为：
$D \cdot 4\pi r^2 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

求解 $\mathbf{D}$

整理得：
$\mathbf{D} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0} \hat{\mathbf{r}}$

第（2）题：球外任一点的电场强度

计算总电荷

整个球体的总电荷为：
$Q = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3$

应用高斯定理求 $\mathbf{D}$

取半径为 $r$（$r > a$）的同心球面为高斯面，通量为：
$D \cdot 4\pi r^2 = Q = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi a^3$
解得：
$\mathbf{D} = \frac{\rho a^3}{3r^2} \hat{\mathbf{r}}$

转换为电场强度 $\mathbf{E}$

在真空中，$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}$，故：
$\mathbf{E} = \frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0 r^2} \hat{\mathbf{r}}$