题目
求曲线 ^2=2mx 、 ^2=m-x 在点(x0,y0,z0 )处的切线和法平面方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线的参数方程
给定的曲线方程为 ${y}^{2}=2mx$ 和 ${z}^{2}=m-x$。为了找到切线和法平面方程，我们首先需要确定曲线的参数方程。由于 ${y}^{2}=2mx$，我们可以设 $x=t$，则 $y=\sqrt{2mt}$。对于 ${z}^{2}=m-x$，我们有 $z=\sqrt{m-t}$。因此，曲线的参数方程为 $x=t$，$y=\sqrt{2mt}$，$z=\sqrt{m-t}$。
步骤 2：计算切线的方向向量
切线的方向向量可以通过对参数方程求导得到。对 $x=t$，$y=\sqrt{2mt}$，$z=\sqrt{m-t}$ 求导，得到 $x'=1$，$y'=\frac{m}{\sqrt{2mt}}$，$z'=-\frac{1}{2\sqrt{m-t}}$。因此，切线的方向向量为 $(1, \frac{m}{\sqrt{2mt}}, -\frac{1}{2\sqrt{m-t}})$。在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，方向向量为 $(1, \frac{m}{y_0}, -\frac{1}{2x_0})$。
步骤 3：写出切线方程
切线方程可以通过点斜式方程写出，即 $\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{\frac{m}{y_0}}=\frac{z-z_0}{-\frac{1}{2x_0}}$。简化后得到 $\frac{x-x_0}{1}=\frac{y_0(y-y_0)}{m}=\frac{2x_0(z-z_0)}{-1}$。
步骤 4：写出法平面方程
法平面方程可以通过点法式方程写出，即 $(x-x_0) + \frac{m}{y_0}(y-y_0) - \frac{1}{2x_0}(z-z_0) = 0$。简化后得到 $x-x_0 + \frac{m}{y_0}(y-y_0) - \frac{1}{2x_0}(z-z_0) = 0$，即 $x + \frac{m}{y_0}y - \frac{1}{2x_0}z = x_0 + m - \frac{1}{2}$。
给定的曲线方程为 ${y}^{2}=2mx$ 和 ${z}^{2}=m-x$。为了找到切线和法平面方程，我们首先需要确定曲线的参数方程。由于 ${y}^{2}=2mx$，我们可以设 $x=t$，则 $y=\sqrt{2mt}$。对于 ${z}^{2}=m-x$，我们有 $z=\sqrt{m-t}$。因此，曲线的参数方程为 $x=t$，$y=\sqrt{2mt}$，$z=\sqrt{m-t}$。
步骤 2：计算切线的方向向量
切线的方向向量可以通过对参数方程求导得到。对 $x=t$，$y=\sqrt{2mt}$，$z=\sqrt{m-t}$ 求导，得到 $x'=1$，$y'=\frac{m}{\sqrt{2mt}}$，$z'=-\frac{1}{2\sqrt{m-t}}$。因此，切线的方向向量为 $(1, \frac{m}{\sqrt{2mt}}, -\frac{1}{2\sqrt{m-t}})$。在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，方向向量为 $(1, \frac{m}{y_0}, -\frac{1}{2x_0})$。
步骤 3：写出切线方程
切线方程可以通过点斜式方程写出，即 $\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{\frac{m}{y_0}}=\frac{z-z_0}{-\frac{1}{2x_0}}$。简化后得到 $\frac{x-x_0}{1}=\frac{y_0(y-y_0)}{m}=\frac{2x_0(z-z_0)}{-1}$。
步骤 4：写出法平面方程
法平面方程可以通过点法式方程写出，即 $(x-x_0) + \frac{m}{y_0}(y-y_0) - \frac{1}{2x_0}(z-z_0) = 0$。简化后得到 $x-x_0 + \frac{m}{y_0}(y-y_0) - \frac{1}{2x_0}(z-z_0) = 0$，即 $x + \frac{m}{y_0}y - \frac{1}{2x_0}z = x_0 + m - \frac{1}{2}$。