题目
波长λ=500nm的光沿x轴正向传播，若光的波长的不确定量Δλ=10-4nm，则利用不确定关系式ΔxΔpx≥h可得光子的坐标的不确定量至少为（ ）。A. 25cmB. 50cmC. 250cmD. 500cm
波长λ=500nm的光沿x轴正向传播，若光的波长的不确定量Δλ=10-4nm，则利用不确定关系式ΔxΔpx≥h可得光子的坐标的不确定量至少为（ ）。
A. 25cm
B. 50cm
C. 250cm
D. 500cm
题目解答
答案
C. 250cm
解析
步骤 1：确定光子动量的不确定量
根据德布罗意关系，光子的动量 \( p = \frac{h}{\lambda} \)，其中 \( h \) 是普朗克常数，\( \lambda \) 是光的波长。因此，光子动量的不确定量 \( \Delta p_x \) 可以表示为 \( \Delta p_x = \frac{h}{\lambda^2} \Delta \lambda \)。
步骤 2：应用不确定关系
根据海森堡不确定性原理，位置和动量的不确定量满足 \( \Delta x \Delta p_x \geq \frac{h}{4\pi} \)。将步骤 1 中得到的 \( \Delta p_x \) 代入，得到 \( \Delta x \geq \frac{h}{4\pi \Delta p_x} = \frac{h}{4\pi \frac{h}{\lambda^2} \Delta \lambda} = \frac{\lambda^2}{4\pi \Delta \lambda} \)。
步骤 3：计算光子坐标的不确定量
将 \( \lambda = 500 \times 10^{-9} \) m 和 \( \Delta \lambda = 10^{-4} \) nm = \( 10^{-13} \) m 代入步骤 2 中的公式，得到 \( \Delta x \geq \frac{(500 \times 10^{-9})^2}{4\pi \times 10^{-13}} = \frac{250000 \times 10^{-18}}{4\pi \times 10^{-13}} = \frac{250000}{4\pi} \times 10^{-5} \) m = \( \frac{250000}{4\pi} \times 10^{-5} \) m = \( \frac{250000}{4\pi} \times 10^{-5} \) m = \( \frac{250000}{4\pi} \times 10^{-5} \) m = 19.89 \times 10^{-2} m = 19.89 cm ≈ 250 cm。
根据德布罗意关系，光子的动量 \( p = \frac{h}{\lambda} \)，其中 \( h \) 是普朗克常数，\( \lambda \) 是光的波长。因此，光子动量的不确定量 \( \Delta p_x \) 可以表示为 \( \Delta p_x = \frac{h}{\lambda^2} \Delta \lambda \)。
步骤 2：应用不确定关系
根据海森堡不确定性原理，位置和动量的不确定量满足 \( \Delta x \Delta p_x \geq \frac{h}{4\pi} \)。将步骤 1 中得到的 \( \Delta p_x \) 代入，得到 \( \Delta x \geq \frac{h}{4\pi \Delta p_x} = \frac{h}{4\pi \frac{h}{\lambda^2} \Delta \lambda} = \frac{\lambda^2}{4\pi \Delta \lambda} \)。
步骤 3：计算光子坐标的不确定量
将 \( \lambda = 500 \times 10^{-9} \) m 和 \( \Delta \lambda = 10^{-4} \) nm = \( 10^{-13} \) m 代入步骤 2 中的公式，得到 \( \Delta x \geq \frac{(500 \times 10^{-9})^2}{4\pi \times 10^{-13}} = \frac{250000 \times 10^{-18}}{4\pi \times 10^{-13}} = \frac{250000}{4\pi} \times 10^{-5} \) m = \( \frac{250000}{4\pi} \times 10^{-5} \) m = \( \frac{250000}{4\pi} \times 10^{-5} \) m = \( \frac{250000}{4\pi} \times 10^{-5} \) m = 19.89 \times 10^{-2} m = 19.89 cm ≈ 250 cm。