如图所示的墙壁,其导热系数为50 W/(m·K),厚度为50mm,在稳态情况下的墙壁内一维温度分布为:=200-2000(x)^2,式中t的单位为℃,=200-2000(x)^2的单位为m。试求:(1)墙壁两侧表面的热流密度;(2)壁内单位体积的内热源生成热。=200-2000(x)^2图5 题5示意图

步骤 1：计算墙壁两侧表面的热流密度
根据傅里叶定律，热流密度 $q$ 可以表示为：
$$ q = -\lambda \frac{dt}{dx} $$
其中，$\lambda$ 是导热系数，$t$ 是温度，$x$ 是位置。根据题目中给出的温度分布 $t = 200 - 2000x^2$，我们首先计算温度对位置的导数：
$$ \frac{dt}{dx} = -4000x $$
将导数代入傅里叶定律，得到热流密度的表达式：
$$ q = 4000\lambda x $$
步骤 2：计算墙壁两侧表面的热流密度
墙壁两侧表面的热流密度分别为 $x=0$ 和 $x=\sigma$ 时的热流密度。将 $x=0$ 和 $x=\sigma$ 代入热流密度的表达式，得到：
$$ q_{x=0} = 4000\lambda \cdot 0 = 0 $$
$$ q_{x=\sigma} = 4000\lambda \cdot \sigma = 4000 \times 50 \times 0.05 = 10000 \text{ W/m}^2 $$
步骤 3：计算壁内单位体积的内热源生成热
根据导热微分方程，壁内单位体积的内热源生成热 $\hat{y}$ 可以表示为：
$$ \hat{y} = -\lambda \frac{d^2t}{dx^2} $$
其中，$\frac{d^2t}{dx^2}$ 是温度对位置的二阶导数。根据题目中给出的温度分布 $t = 200 - 2000x^2$，我们首先计算温度对位置的二阶导数：
$$ \frac{d^2t}{dx^2} = -4000 $$
将二阶导数代入导热微分方程，得到壁内单位体积的内热源生成热的表达式：
$$ \hat{y} = -\lambda \cdot (-4000) = 4000\lambda $$
将导热系数 $\lambda = 50 \text{ W/(m·K)}$ 代入，得到：
$$ \hat{y} = 4000 \times 50 = 200000 \text{ W/m}^3 $$