用每厘米有5000条刻痕的光栅,观察钠光谱(lambda =5900 A)。当光线以30^{ circ角入射时,最多能观察到第几级主极大明纹 A. 第4级B. 第6级C. 无法确定D. 第5级

本题考查光栅衍射中主极大明纹的级数计算，关键是利用光栅方程并结合实际物理条件（衍射角范围）求解。

步骤1：明确光栅方程及入射条件

光栅衍射的主极大条件为：
$d(\sin\theta + \sin\phi) = k\lambda$
其中：

• $d$：光栅常数（相邻刻痕间距），
• $\theta$：衍射角（衍射光与光栅法线夹角），
• $\phi$：入射角（入射光与光栅法线夹角，本题中$\phi = 30^\circ$），
• $k$：衍射级次（整数，$k = 0, \pm1, \{\{X}$），
• $\lambda$：光波波长（$5900\ \mathring{A} = 5900 \times 10^{-10}\ \text{m}$）。

步骤2：计算光栅常数$d$

光栅每厘米有5000条刻痕，故：
$d = \frac{1}{5000}\ \text{cm} = \frac{1 \times 10^{-2}\ \text{m}}{5000} = 2 \times 10^{-6}\ \text{m}$

步骤3：确定$k$的最大值

衍射角$\theta$的实际范围是$|\theta| \leq 90^\circ$，故$|\sin\theta| \leq 1$。为求最大$k$，需考虑$\sin\theta$的极值（$\pm1$），但需保证方程有解：
$k = \frac{d(\sin\theta + \sin\phi)}{\lambda}$

关键分析

• 当$\sin\theta = 1$时（衍射光与入射光同侧）：
  $k_1 = \frac{2 \times 10^{-6}(\sin30^\circ + 1)}{5900 \times 10^{-10}} = \frac{2 \times 10^{-6}(0.5 + 1)}{5.9 \times 10^{-7}} \approx 5.08$
  取整数$k=5$（$k=6$时$\sin\theta >1$，不成立）。

• 当$\sin\theta = -1$时（衍射光与入射光异侧）：
  $k_2 = \frac{2 \times 10^{-6}(\sin30^\circ - 1)}{5.9 \times 10^{-7}} \approx -1.69$
  仅能取$k=-1$，级数更小。

结论

最多能观察到第5级主极大明纹。