题目
设 X_1, X_2, ..., X_n 为来自正态总体 N(mu, sigma^2) 的简单随机样本，overline(X) 为样本均值，S^2 为样本方差，则 (overline(X) - mu)/(S/sqrt(n)) = ( )A. 标准正态分布B. 自由度为 n-1 的 t 分布C. 自由度为 n 的 t 分布D. 自由度为 n-1 的 chi^2 分布
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，$\overline{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差，则 $\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = (\quad)$
A. 标准正态分布
B. 自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布
C. 自由度为 $n$ 的 $t$ 分布
D. 自由度为 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布
题目解答
答案
B. 自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布
解析
步骤 1：样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 2：样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 满足 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，即样本方差与总体方差的比值乘以自由度 $n-1$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
步骤 3：统计量的分布
统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 可以表示为标准正态变量与 $\chi^2(n-1)$ 变量的比值，符合自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布定义。
样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。
步骤 2：样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 满足 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，即样本方差与总体方差的比值乘以自由度 $n-1$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
步骤 3：统计量的分布
统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 可以表示为标准正态变量与 $\chi^2(n-1)$ 变量的比值，符合自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布定义。