设随机变量 approx b(100,0.2), 则由中心极限定理,可得到 14lt Xlt 30 approx ()-|||-A.0.5-|||-B.0.867-|||-C.0.96-|||-D.0.93

本题考查中心极限定理在二项分布近似计算中的应用。

步骤1：确定二项分布参数

随机变量$X \sim b(100, 0.2)$，即$X$服从参数为$n=100$（试验次数）、$p=0.2$（每次成功概率）的二项分布。
二项分布的期望和方差公式为：
$\mu = np = 100 \times 0.2 = 20$
$\sigma^2 = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16 \implies \sigma = 4$

步骤2：用中心极限定理近似

根据中心极限定理，当$n$较大时（$n=100$满足），二项分布$X$近似服从正态分布$N(\mu, \sigma^2) = N(20, 4(16) )$。
为计算$P\{14 < X < 30\}$，需将$X$标准化为标准正态变量$Z \sim N(0,1)$，公式为：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

步骤3：标准化区间

对$X=14$和$X=30$分别标准化：
$Z_1 = \frac{14 - 20}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$
$Z_2 = \frac{30 - 20}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$
因此：
$P\{14 < X < 30\} \approx P\{-1.5 < Z < 2.5\}$

步骤4：查标准正态分布表

标准正态分布的概率$P\{-a < Z < b\} = \Phi(b) - \Phi(-a) = \Phi(b) + \Phi(a) - 1$（其中$\Phi(z)$为标准正态分布的累积分布函数）：

• $\Phi(2.5) \approx 0.9938$（$Z=2.5$时的累积概率）
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$（$Z=1.5$时的累积概率）

代入得：
$P\{-1.5 < Z < 2.5\} = 0.9938 + 0.9332 - 1 = 0.927 \approx 0.93$