题目
12. (简答题，10.0分) 设平面力场overrightarrow(F)(x,y)=(e^y+x)overrightarrow(i)+(xe^y-2y)overrightarrow(j) 证明力场中力overrightarrow(F)(x,y)所作功与路径无关； (2)求质点在该力作用下由O(0,0)到B(1,2)所作的功.
12. (简答题，10.0分)
设平面力场$\overrightarrow{F}(x,y)=(e^{y}+x)\overrightarrow{i}+(xe^{y}-2y)\overrightarrow{j}$
证明力场中力$\overrightarrow{F}(x,y)$所作功与路径无关；
(2)求质点在该力作用下由O(0,0)到B(1,2)所作的功.
题目解答
答案
为了证明力场中力$\overrightarrow{F}(x,y) = (e^y + x)\overrightarrow{i} + (xe^y - 2y)\overrightarrow{j}$所作功与路径无关，我们需要检查$\overrightarrow{F}$是否为保守力场。一个力场是保守的，如果它的旋度为零。对于二维力场$\overrightarrow{F} = P(x,y)\overrightarrow{i} + Q(x,y)\overrightarrow{j}$，旋度由$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$给出。
这里，$P(x,y) = e^y + x$和$Q(x,y) = xe^y - 2y$。我们计算偏导数：
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = e^y \quad \text{和} \quad \frac{\partial P}{\partial y} = e^y.
\]
由于$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，旋度为零，力场是保守的。因此，力$\overrightarrow{F}(x,y)$所作功与路径无关。
接下来，我们需要找到质点在该力作用下由$O(0,0)$到$B(1,2)$所作的功。由于力场是保守的，存在一个势函数$f(x,y)$使得$\overrightarrow{F} = \nabla f$。这意味着：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = e^y + x \quad \text{和} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = xe^y - 2y.
\]
我们从对$x$积分$\frac{\partial f}{\partial x}$开始：
\[
f(x,y) = \int (e^y + x) \, dx = xe^y + \frac{x^2}{2} + g(y),
\]
其中$g(y)$是$y$的函数。现在，我们对$y$求导并将其等于$\frac{\partial f}{\partial y}$：
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = xe^y + g'(y) = xe^y - 2y.
\]
通过比较两边，我们看到$g'(y) = -2y$，因此：
\[
g(y) = -y^2 + C,
\]
其中$C$是常数。因此，势函数为：
\[
f(x,y) = xe^y + \frac{x^2}{2} - y^2 + C.
\]
力所作的功是势函数在终点和起点的差值：
\[
f(1,2) - f(0,0) = \left(1 \cdot e^2 + \frac{1^2}{2} - 2^2 + C\right) - \left(0 \cdot e^0 + \frac{0^2}{2} - 0^2 + C\right) = e^2 + \frac{1}{2} - 4 = e^2 - \frac{7}{2}.
\]
因此，质点在该力作用下由$O(0,0)$到$B(1,2)$所作的功为：
\[
\boxed{e^2 - \frac{7}{2}}.
\]
解析
步骤 1：检查力场是否为保守力场
为了证明力场中力$\overrightarrow{F}(x,y) = (e^y + x)\overrightarrow{i} + (xe^y - 2y)\overrightarrow{j}$所作功与路径无关，我们需要检查$\overrightarrow{F}$是否为保守力场。一个力场是保守的，如果它的旋度为零。对于二维力场$\overrightarrow{F} = P(x,y)\overrightarrow{i} + Q(x,y)\overrightarrow{j}$，旋度由$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$给出。这里，$P(x,y) = e^y + x$和$Q(x,y) = xe^y - 2y$。我们计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = e^y \quad \text{和} \quad \frac{\partial P}{\partial y} = e^y. \] 由于$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，旋度为零，力场是保守的。因此，力$\overrightarrow{F}(x,y)$所作功与路径无关。
步骤 2：找到势函数
由于力场是保守的，存在一个势函数$f(x,y)$使得$\overrightarrow{F} = \nabla f$。这意味着： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = e^y + x \quad \text{和} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = xe^y - 2y. \] 我们从对$x$积分$\frac{\partial f}{\partial x}$开始： \[ f(x,y) = \int (e^y + x) \, dx = xe^y + \frac{x^2}{2} + g(y), \] 其中$g(y)$是$y$的函数。现在，我们对$y$求导并将其等于$\frac{\partial f}{\partial y}$： \[ \frac{\partial f}{\partial y} = xe^y + g'(y) = xe^y - 2y. \] 通过比较两边，我们看到$g'(y) = -2y$，因此： \[ g(y) = -y^2 + C, \] 其中$C$是常数。因此，势函数为： \[ f(x,y) = xe^y + \frac{x^2}{2} - y^2 + C. \]
步骤 3：计算质点在该力作用下由$O(0,0)$到$B(1,2)$所作的功
力所作的功是势函数在终点和起点的差值： \[ f(1,2) - f(0,0) = \left(1 \cdot e^2 + \frac{1^2}{2} - 2^2 + C\right) - \left(0 \cdot e^0 + \frac{0^2}{2} - 0^2 + C\right) = e^2 + \frac{1}{2} - 4 = e^2 - \frac{7}{2}. \]
为了证明力场中力$\overrightarrow{F}(x,y) = (e^y + x)\overrightarrow{i} + (xe^y - 2y)\overrightarrow{j}$所作功与路径无关，我们需要检查$\overrightarrow{F}$是否为保守力场。一个力场是保守的，如果它的旋度为零。对于二维力场$\overrightarrow{F} = P(x,y)\overrightarrow{i} + Q(x,y)\overrightarrow{j}$，旋度由$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$给出。这里，$P(x,y) = e^y + x$和$Q(x,y) = xe^y - 2y$。我们计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = e^y \quad \text{和} \quad \frac{\partial P}{\partial y} = e^y. \] 由于$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，旋度为零，力场是保守的。因此，力$\overrightarrow{F}(x,y)$所作功与路径无关。
步骤 2：找到势函数
由于力场是保守的，存在一个势函数$f(x,y)$使得$\overrightarrow{F} = \nabla f$。这意味着： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = e^y + x \quad \text{和} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = xe^y - 2y. \] 我们从对$x$积分$\frac{\partial f}{\partial x}$开始： \[ f(x,y) = \int (e^y + x) \, dx = xe^y + \frac{x^2}{2} + g(y), \] 其中$g(y)$是$y$的函数。现在，我们对$y$求导并将其等于$\frac{\partial f}{\partial y}$： \[ \frac{\partial f}{\partial y} = xe^y + g'(y) = xe^y - 2y. \] 通过比较两边，我们看到$g'(y) = -2y$，因此： \[ g(y) = -y^2 + C, \] 其中$C$是常数。因此，势函数为： \[ f(x,y) = xe^y + \frac{x^2}{2} - y^2 + C. \]
步骤 3：计算质点在该力作用下由$O(0,0)$到$B(1,2)$所作的功
力所作的功是势函数在终点和起点的差值： \[ f(1,2) - f(0,0) = \left(1 \cdot e^2 + \frac{1^2}{2} - 2^2 + C\right) - \left(0 \cdot e^0 + \frac{0^2}{2} - 0^2 + C\right) = e^2 + \frac{1}{2} - 4 = e^2 - \frac{7}{2}. \]