1-3题：若测得罐车行走路程s=1000±1米，需要运行时间为t=20±1分，试求此车的运行的速度v，并计算其误差限和相对误差限。

题目分析

已知罐车行走路程 $s = 1000 \pm 1$ 米，运行时间 $t = 20 \pm 1$ 分。
我们需要求：

1. 运行速度 $v$ 的近似值。
2. 速度 $v$ 的误差限（绝对误差限）。
3. 速度 $v$ 的相对误差限。

根据题意，速度公式为：
$v = \frac{s}{t}$

已知测量值的近似值及其误差限分别为：

• 路程近似值 $s^* = 1000$ 米，绝对误差限 $\varepsilon(s) = 1$ 米。
• 时间近似值 $t^* = 20$ 分，绝对误差限 $\varepsilon(t) = 1$ 分。

1. 计算速度的近似值

将近似值代入公式：
$v^* = \frac{s^*}{t^*} = \frac{1000}{20} = 50 \text{ (米/分)}$

2. 计算速度的误差限

速度 $v = f(s, t) = \frac{s}{t}$ 是多元函数。根据误差传播定律，其绝对误差限 $\varepsilon(v)$ 可以通过全微分绝对值之和来估计：
$\varepsilon(v) \approx \left| \frac{\partial v}{\partial s} \right| \varepsilon(s) + \left| \frac{\partial v}{\partial t} \right| \varepsilon(t)$

首先计算偏导数：

• 对 $s$ 的偏导数：
  $\frac{\partial v}{\partial s} = \frac{1}{t}$
• 对 $t$ 的偏导数：
  $\frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{s}{t^2}$

将近似值 $s^* = 1000, t^* = 20$ 代入偏导数，并取绝对值：

• $\left| \frac{\partial v}{\partial s} \right| = \left| \frac{1}{20} \right| = 0.05$
• $\left| \frac{\partial v}{\partial t} \right| = \left| -\frac{1000}{20^2} \right| = \frac{1000}{400} = 2.5$

代入误差限公式：
$\varepsilon(v) = 0.05 \times \varepsilon(s) + 2.5 \times \varepsilon(t) = 0.05 \times 1 + 2.5 \times 1 = 0.05 + 2.5 = 2.55 \text{ (米/分)}$

所以，速度的误差限为 $2.55$ 米/分。

3. 计算速度的相对误差限

相对误差限定义为绝对误差限与近似值之比：
$\delta(v) = \frac{\varepsilon(v)}{|v^*|} = \frac{2.55}{50} = 0.051$

将其转换为百分比，即 $5.1\%$。

最终结果汇总

• 运行速度 $v$：$50$ 米/分（可表示为 $v = 50 \pm 2.55$ 米/分）。
• 误差限（绝对误差限）：$2.55$ 米/分。
• 相对误差限：$0.051$ （或 $5.1\%$）。