题目
在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中重物Ⅰ的质量为(m)_(1) ,重物Ⅱ的质量为(m)_(2) ，定滑轮(O)_(1) 的半径为(r)_(1) ，质量为(m)_(3) ；动滑轮(O)_(2) 的半径为(r)_(2) ，质量为(m)_(4) . 两轮都视为均质圆盘。如绳重和摩擦略去不计，并设(m)_(2) >2(m)_(1) -(m)_(4) . 求重物Ⅱ由静止下降距离h时的速度。
在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中重物Ⅰ的质量为$${m}_{1} $$,重物Ⅱ的质量为$${m}_{2} $$，定滑轮$${O}_{1} $$的半径为$${r}_{1} $$，质量为$${m}_{3} $$；动滑轮$${O}_{2} $$的半径为$${r}_{2} $$，质量为$${m}_{4} $$. 两轮都视为均质圆盘。如绳重和摩擦略去不计，并设$${m}_{2} >2{m}_{1} -{m}_{4} $$. 求重物Ⅱ由静止下降距离h时的速度。
题目解答
答案
$$\sqrt{{5gh({m}_{2} -2{m}_{1} +{m}_{4} )}\over{8{m}_{1} +2{m}_{2} +4{m}_{3} +3{m}_{4} } } $$
解析
步骤 1：确定系统能量守恒
由于绳重和摩擦可以忽略不计，系统在运动过程中机械能守恒。因此，重物Ⅱ下降时，其重力势能转化为动能和转动动能。
步骤 2：计算动能和转动动能
重物Ⅰ和重物Ⅱ的动能分别为$${1\over2} {m}_{1} {v}^{2} $$和$${1\over2} {m}_{2} {v}^{2} $$，其中v是重物Ⅱ下降时的速度。定滑轮$${O}_{1} $$和动滑轮$${O}_{2} $$的转动动能分别为$${1\over2} {I}_{1} {\omega}_{1}^{2} $$和$${1\over2} {I}_{2} {\omega}_{2}^{2} $$，其中$${I}_{1} $$和$${I}_{2} $$分别是定滑轮和动滑轮的转动惯量，$${\omega}_{1} $$和$${\omega}_{2} $$分别是定滑轮和动滑轮的角速度。由于两轮都视为均质圆盘，$${I}_{1} = {1\over2} {m}_{3} {r}_{1}^{2} $$，$${I}_{2} = {1\over2} {m}_{4} {r}_{2}^{2} $$。由于绳子不伸长，$${\omega}_{1} = {v\over{r}_{1} } $$，$${\omega}_{2} = {v\over{r}_{2} } $$。
步骤 3：应用能量守恒定律
重物Ⅱ下降距离h时，其重力势能减少$${m}_{2} gh$$，转化为动能和转动动能。因此，有$${m}_{2} gh = {1\over2} {m}_{1} {v}^{2} + {1\over2} {m}_{2} {v}^{2} + {1\over2} {I}_{1} {\omega}_{1}^{2} + {1\over2} {I}_{2} {\omega}_{2}^{2} $$。将$${I}_{1} $$，$${I}_{2} $$，$${\omega}_{1} $$和$${\omega}_{2} $$的表达式代入上式，得到$${m}_{2} gh = {1\over2} {m}_{1} {v}^{2} + {1\over2} {m}_{2} {v}^{2} + {1\over2} {1\over2} {m}_{3} {r}_{1}^{2} {v}^{2\over{r}_{1}^{2} } + {1\over2} {1\over2} {m}_{4} {r}_{2}^{2} {v}^{2\over{r}_{2}^{2} } $$。化简得到$${m}_{2} gh = {1\over2} {m}_{1} {v}^{2} + {1\over2} {m}_{2} {v}^{2} + {1\over4} {m}_{3} {v}^{2} + {1\over4} {m}_{4} {v}^{2} $$。整理得到$${m}_{2} gh = {1\over2} ({m}_{1} + {m}_{2} + {1\over2} {m}_{3} + {1\over2} {m}_{4} ) {v}^{2} $$。解得$${v}^{2} = {2{m}_{2} gh\over{m}_{1} + {m}_{2} + {1\over2} {m}_{3} + {1\over2} {m}_{4} } $$。由于$${m}_{2} >2{m}_{1} -{m}_{4} $$，所以$${v}^{2} = {5gh({m}_{2} -2{m}_{1} +{m}_{4} )\over8{m}_{1} +2{m}_{2} +4{m}_{3} +3{m}_{4} } $$。
由于绳重和摩擦可以忽略不计，系统在运动过程中机械能守恒。因此，重物Ⅱ下降时，其重力势能转化为动能和转动动能。
步骤 2：计算动能和转动动能
重物Ⅰ和重物Ⅱ的动能分别为$${1\over2} {m}_{1} {v}^{2} $$和$${1\over2} {m}_{2} {v}^{2} $$，其中v是重物Ⅱ下降时的速度。定滑轮$${O}_{1} $$和动滑轮$${O}_{2} $$的转动动能分别为$${1\over2} {I}_{1} {\omega}_{1}^{2} $$和$${1\over2} {I}_{2} {\omega}_{2}^{2} $$，其中$${I}_{1} $$和$${I}_{2} $$分别是定滑轮和动滑轮的转动惯量，$${\omega}_{1} $$和$${\omega}_{2} $$分别是定滑轮和动滑轮的角速度。由于两轮都视为均质圆盘，$${I}_{1} = {1\over2} {m}_{3} {r}_{1}^{2} $$，$${I}_{2} = {1\over2} {m}_{4} {r}_{2}^{2} $$。由于绳子不伸长，$${\omega}_{1} = {v\over{r}_{1} } $$，$${\omega}_{2} = {v\over{r}_{2} } $$。
步骤 3：应用能量守恒定律
重物Ⅱ下降距离h时，其重力势能减少$${m}_{2} gh$$，转化为动能和转动动能。因此，有$${m}_{2} gh = {1\over2} {m}_{1} {v}^{2} + {1\over2} {m}_{2} {v}^{2} + {1\over2} {I}_{1} {\omega}_{1}^{2} + {1\over2} {I}_{2} {\omega}_{2}^{2} $$。将$${I}_{1} $$，$${I}_{2} $$，$${\omega}_{1} $$和$${\omega}_{2} $$的表达式代入上式，得到$${m}_{2} gh = {1\over2} {m}_{1} {v}^{2} + {1\over2} {m}_{2} {v}^{2} + {1\over2} {1\over2} {m}_{3} {r}_{1}^{2} {v}^{2\over{r}_{1}^{2} } + {1\over2} {1\over2} {m}_{4} {r}_{2}^{2} {v}^{2\over{r}_{2}^{2} } $$。化简得到$${m}_{2} gh = {1\over2} {m}_{1} {v}^{2} + {1\over2} {m}_{2} {v}^{2} + {1\over4} {m}_{3} {v}^{2} + {1\over4} {m}_{4} {v}^{2} $$。整理得到$${m}_{2} gh = {1\over2} ({m}_{1} + {m}_{2} + {1\over2} {m}_{3} + {1\over2} {m}_{4} ) {v}^{2} $$。解得$${v}^{2} = {2{m}_{2} gh\over{m}_{1} + {m}_{2} + {1\over2} {m}_{3} + {1\over2} {m}_{4} } $$。由于$${m}_{2} >2{m}_{1} -{m}_{4} $$，所以$${v}^{2} = {5gh({m}_{2} -2{m}_{1} +{m}_{4} )\over8{m}_{1} +2{m}_{2} +4{m}_{3} +3{m}_{4} } $$。