设 f 是有界可测集 E 上几乎处处有限的可测函数，则A. f 是 E 上简单函数.B. 对任意 varepsilon > 0，存在闭集 F subset E 且 m(E-F)C. 对任意 varepsilon > 0，存在实直线上的连续函数 g，满足 mE(f neq g)D. mE(|f| = pm infty)= 0;

本题主要考查可测函数的性质以及相关定理，如简单函数的定义、Luzin定理等，通过对每个选项依据这些知识进行分析判断。

• 选项A：
  • 简单函数的定义为：设$E$是可测集，$f(x)$是定义在$E$上的实函数，如果$f(x)$只取有限个不同的值$y_1,y_2,\cdots,y_n$，且$E_i = \{x\in E:f(x)=y_i\}$（$i = 1,2,\cdots,n$）是可测集，则称$f(x)$是$E$上的简单函数。
  • 可测函数的值域不一定是有限的，例如$f(x)=x$在有界区间$[a,b]$上是可测函数，但它的值域是$[a,b]$，是无限集，所以$f(x)=x$不是简单函数。因此，可测函数不一定是简单函数，选项A错误。
• 选项B：
  • Luzin定理：设$f(x)$是可测集$E$上几乎处处有限的可测函数，则对任意$\varepsilon>0$，存在闭集$F\subset E$，使得$m(E - F)<\varepsilon$，且$f(x)$在$F$上连续。
  • 已知$f$是有界可测集$E$上几乎处处有限的可测函数，满足Luzin定理的条件，所以对任意$\varepsilon > 0$，存在闭集$F \subset E$且$m(E - F)< \varepsilon$，而$f$限制在$F$上是连续的，选项B正确。
• 选项C：
  • 根据Luzin定理，对于有界可测集$E$上几乎处处有限的可测函数$f$，对任意$\varepsilon>0$，存在闭集$F\subset E$，使得$m(E - F)<\varepsilon$，且$f(x)$在$F$上连续。
  • 由于$F$是闭集，根据连续延拓定理，$F$上的连续函数$f|_F$可以延拓为整个实直线$\mathbb{R}$上的连续函数$g$，并且在$F$上$g(x)=f(x)$。
  • 那么$E(f\neq g)\subseteq E - F$，根据测度的单调性，$mE(f\neq g)\leq m(E - F)<\varepsilon$，所以存在实直线上的连续函数$g$，满足$mE(f \neq g)< \varepsilon$，选项C正确。
• 选项D：
  • 题目中明确说明$f$是有界可测集$E$上几乎处处有限的可测函数，“几乎处处有限”的定义就是$f$在$E$上除了一个测度为$0$的集合外，函数值都是有限的。
  • 即$mE(|f| = \pm\infty) = 0$，选项D正确。