题目

储有氧气的容器以速度 =100mcdot (s)^-1 运动.假设该容器突然停止,全部定向运-|||-动的动能都变为气体分子热运动的动能,问容器中氧气的温度将会上升多少?

题目解答

答案

解析

本题考查的是能量转化与理想气体内能的知识。解题的关键思路是明确容器突然停止时，分子的定向机械运动动能全部转化为气体分子热运动的动能，也就是气体内能的增量。

详细解析

  1. 首先，我们知道容器中所有分子的定向机械运动动能的表达式为：
    • 设容器中氧气分子的总数为 $N$，每个氧气分子的质量为 $m$，容器的运动速度为 $v$，根据动能公式 $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$，那么所有分子的定向机械运动动能 $E_{k总}=\frac{1}{2}(Nm)v^{2}$。
  2. 然后，对于理想气体，其内能的表达式为 $U = N\frac{i}{2}kT$，其中 $i$ 是气体分子的自由度，$k$ 是玻尔兹曼常量，$T$ 是热力学温度。当容器突然停止，定向运动的动能全部转化为气体内能的增量 $\Delta U$，即 $\Delta U=N\frac{i}{2}k\Delta T$，这里 $\Delta T$ 就是温度的上升量。
  3. 对于氧气分子，它是双原子分子，在常温下自由度 $i = 5$。
  4. 由于定向机械运动动能全部转化为内能增量，所以有：
    • $\frac{1}{2}(Nm)v^{2}=N\frac{5}{2}k\Delta T$。
    • 接下来求解 $\Delta T$，对等式 $\frac{1}{2}(Nm)v^{2}=N\frac{5}{2}k\Delta T$ 进行化简：
      • 等式两边同时约去 $N$，得到 $\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{5}{2}k\Delta T$。
      • 进一步变形可得 $\Delta T=\frac{mv^{2}}{5k}$。
    • 已知氧气分子的摩尔质量 $M = 32\times10^{- 3}kg/mol$，根据阿伏伽德罗常数 $N_{A}=6.02\times10^{23}mol^{-1}$，则单个氧气分子的质量 $m=\frac{M}{N_{A}}=\frac{32\times10^{-3}}{6.02\times10^{23}}kg$，玻尔兹曼常量 $k = 1.38\times10^{-23}J/K$，速度 $v = 100m/s$。
    • 代入数据计算：
      • $\Delta T=\frac{\frac{32\times10^{-3}}{6.02\times10^{23}}\times100^{2}}{5\times1.38\times10^{-23}}$
      • 先计算分子部分 $\frac{32\times10^{-3}}{6.02\times10^{23}}\times100^{2}=\frac{32\times10^{-3}\times10^{4}}{6.02\times10^{23}}=\frac{32\times10^{1}}{6.02\times10^{23}}=\frac{320}{6.02\times10^{23}}$。
      • 再计算整个式子 $\Delta T=\frac{\frac{320}{6.02\times10^{23}}}{5\times1.38\times10^{-23}}=\frac{320}{6.02\times10^{23}\times5\times1.38\times10^{-23}}$。
      • 根据指数运算法则 $a^{m}\times a^{n}=a^{m + n}$，$10^{23}\times10^{-23}=10^{23+( - 23)} = 10^{0}=1$。
      • 则 $\Delta T=\frac{320}{6.02\times5\times1.38}=\frac{320}{41.532}\approx7.71K$。