题目

某质点在合力 vec(F) = (6 + 2x)vec(i) (SI) 的作用下，从原点起，由静止开始沿 x 轴运动，当它移动到 x = 6(m) 处时的动能为_________J。

某质点在合力 $\vec{F} = (6 + 2x)\vec{i}$ (SI) 的作用下，从原点起，由静止开始沿 $x$ 轴运动，当它移动到 $x = 6\text{m}$ 处时的动能为_________J。

题目解答

答案

根据动能定理，合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。 已知质点受到的合力为 $\vec{F} = (6 + 2x)\vec{i}$，这是一个随位置 $x$ 变化的变力。质点从原点（$x=0$）由静止开始沿 $x$ 轴运动，初始动能 $E_{k0} = 0$。 当质点移动到 $x=6\text{m}$ 处时，合力所做的功 $W$ 可以通过对力进行积分来计算： $$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$$ 代入已知条件，积分区间为从 $0$ 到 $6$： $$W = \int_{0}^{6} (6 + 2x) \, dx$$ 计算该定积分： $$W = \left[ 6x + x^2 \right]_{0}^{6}$$ $$W = (6 \times 6 + 6^2) - (6 \times 0 + 0^2)$$ $$W = 36 + 36$$ $$W = 72\text{ J}$$ 根据动能定理 $W = E_k - E_{k0}$，由于初动能 $E_{k0} = 0$，所以质点在 $x=6\text{m}$ 处的动能 $E_k$ 就等于合力所做的功： $$E_k = W = 72\text{ J}$$ 因此，当它移动到 $x=6\text{m}$ 处时的动能为 $72\text{ J}$。

解析

本题考查动能定理以及变力做功的计算。解题思路是先明确动能定理的内容，即合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。由于题目中给出的合力是随位置变化的变力，所以需要通过积分的方法来计算合力所做的功，最后根据动能定理求出质点在指定位置的动能。

  1. 首先明确动能定理公式：$W = \Delta E_k=E_k - E_{k0}$，其中$W$是合外力做的功，$E_k$是末动能，$E_{k0}$是初动能。已知质点从静止开始运动，所以初动能$E_{k0} = 0$。
  2. 然后计算变力做功：对于变力$\vec{F} = (6 + 2x)\vec{i}$，沿$x$轴方向的力$F(x)=6 + 2x$，根据变力做功公式$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$，这里质点从$x_1 = 0$运动到$x_2 = 6\text{m}$，则$W = \int_{0}^{6} (6 + 2x) \, dx$。
  3. 接着计算定积分：
    • 根据积分公式$\int(ax + b)dx=\frac{1}{2}ax^2+bx + C$（$C$为常数），对$\int (6 + 2x) \, dx$进行积分可得$\left[ 6x + x^2 \right]$。
    • 再根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$（$F(x)$是$f(x)$的一个原函数），计算定积分的值为$\left[ 6x + x^2 \right]_{0}^{6}=(6 \times 6 + 6^2) - (6 \times 0 + 0^2)$。
    • 先计算括号内的值：$6\times6 = 36$，$6^2 = 36$，$6\times0 = 0$，$0^2 = 0$，则$(6 \times 6 + 6^2) - (6 \times 0 + 0^2)=36 + 36-0=72\text{ J}$，即$W = 72\text{ J}$。
  4. 最后根据动能定理求末动能：因为$W = E_k - E_{k0}$且$E_{k0} = 0$，所以$E_k = W = 72\text{ J}$。