5-1.如图,一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。

步骤 1：受力分析
对质量为2m的重物，根据牛顿第二定律，有：
\[ 2mg - T_2 = 2ma \]
对质量为m的重物，根据牛顿第二定律，有：
\[ T_1 - mg = ma \]
步骤 2：滑轮的转动分析
对两个滑轮，根据转动定律，有：
\[ (T_2 - T_1)r = \frac{1}{2}mr^2 \beta \]
其中，\(\beta\) 是滑轮的角加速度，且有 \(a = r\beta\)，所以：
\[ (T_2 - T_1)r = \frac{1}{2}mr^2 \frac{a}{r} \]
简化得到：
\[ T_2 - T_1 = \frac{1}{2}ma \]
步骤 3：联立方程求解
联立以上方程，有：
\[ 2mg - T_2 = 2ma \]
\[ T_1 - mg = ma \]
\[ T_2 - T_1 = \frac{1}{2}ma \]
将 \(T_2\) 用 \(T_1\) 表示，代入第一个方程：
\[ 2mg - (T_1 + \frac{1}{2}ma) = 2ma \]
\[ 2mg - T_1 - \frac{1}{2}ma = 2ma \]
\[ 2mg - T_1 = \frac{5}{2}ma \]
将 \(T_1\) 用 \(a\) 表示，代入第二个方程：
\[ T_1 = ma + mg \]
代入上式：
\[ 2mg - (ma + mg) = \frac{5}{2}ma \]
\[ mg - ma = \frac{5}{2}ma \]
\[ mg = \frac{7}{2}ma \]
\[ a = \frac{2}{7}g \]
将 \(a\) 代入 \(T_1\) 的表达式：
\[ T_1 = m(\frac{2}{7}g) + mg = \frac{9}{7}mg \]
将 \(T_1\) 代入 \(T_2\) 的表达式：
\[ T_2 = T_1 + \frac{1}{2}ma = \frac{9}{7}mg + \frac{1}{2}m(\frac{2}{7}g) = \frac{10}{7}mg \]