12-19 如图所示,一根无限长-|||-的直导线和一个正方形的线圈共面-|||-a-|||-放置(导线与线圈接触处绝缘).求:-|||-线圈与导线间的互感系数.长直导线-|||-通以电流 =(I)_(0)sin omega t 时,线框中的互 a/3 dfrac (2a)(3)-|||-感电动势. 习题 12-19 图

步骤 1：确定互感系数的公式
互感系数 $M$ 可以通过公式 $M = \frac{\Phi}{I}$ 计算，其中 $\Phi$ 是穿过线圈的磁通量，$I$ 是通过导线的电流。对于无限长直导线和正方形线圈，磁通量 $\Phi$ 可以通过积分计算。

步骤 2：计算磁通量
对于无限长直导线，其磁场强度 $B$ 为 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$，其中 $\mu_0$ 是真空磁导率，$I$ 是电流，$r$ 是到导线的距离。线圈的面积元 $dA$ 为 $a \times dx$，其中 $a$ 是线圈的边长，$x$ 是从导线到线圈的距离。因此，磁通量 $\Phi$ 可以表示为：
$$
\Phi = \int_{a/3}^{2a/3} B \cdot dA = \int_{a/3}^{2a/3} \frac{\mu_0 I}{2\pi x} \cdot a \, dx
$$
步骤 3：计算互感系数
将磁通量 $\Phi$ 代入互感系数的公式中，得到：
$$
M = \frac{\Phi}{I} = \frac{1}{I} \int_{a/3}^{2a/3} \frac{\mu_0 I}{2\pi x} \cdot a \, dx = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \int_{a/3}^{2a/3} \frac{1}{x} \, dx
$$
计算积分：
$$
\int_{a/3}^{2a/3} \frac{1}{x} \, dx = \ln \left( \frac{2a/3}{a/3} \right) = \ln 2
$$
因此，互感系数 $M$ 为：
$$
M = \frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln 2
$$
步骤 4：计算互感电动势
当导线中的电流为 $I = I_0 \sin \omega t$ 时，互感电动势 $\theta$ 可以通过公式 $\theta = -M \frac{dI}{dt}$ 计算。将 $I$ 代入公式中，得到：
$$
\theta = -M \frac{d}{dt} (I_0 \sin \omega t) = -M I_0 \omega \cos \omega t
$$
将互感系数 $M$ 代入公式中，得到：
$$
\theta = -\frac{\mu_0 a}{2\pi} \ln 2 \cdot I_0 \omega \cos \omega t
$$