题目
4-12 一质量为m的物体,从质量为M的圆弧-|||-形槽顶端由静止滑下,设圆弧形槽的半径为R,张角为-|||-dfrac (pi )(2), 如图所示。如所有摩擦都可忽略,-|||-(1)物体刚离开槽底端时,物体和槽的速度各是多-|||-少?-|||-(2)在物体从A滑到B的过程中,物体对槽所做-|||-的功。-|||-A A-|||-m-|||-R-|||-M B
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定系统动量守恒
由于所有摩擦都可忽略，系统在水平方向上不受外力作用，因此系统在水平方向上的动量守恒。设物体刚离开槽底端时，物体的速度为$v_{m}$，槽的速度为$v_{M}$，则有：
$$mv_{m} + Mv_{M} = 0$$
步骤 2：确定系统机械能守恒
物体从A点滑到B点的过程中，只有重力做功，因此系统的机械能守恒。设物体在A点的势能为$mgR$，在B点的势能为$0$，则有：
$$mgR = \frac{1}{2}mv_{m}^{2} + \frac{1}{2}Mv_{M}^{2}$$
步骤 3：联立求解
联立步骤1和步骤2中的方程，可以求解出物体和槽的速度。
$$mv_{m} + Mv_{M} = 0$$
$$mgR = \frac{1}{2}mv_{m}^{2} + \frac{1}{2}Mv_{M}^{2}$$
解得：
$$v_{m} = \sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}$$
$$v_{M} = -\frac{m}{M}v_{m} = -m\sqrt{\frac{2gR}{M(M+m)}}$$
步骤 4：计算物体对槽所做的功
物体对槽所做的功等于槽动能的增加量，即：
$$W = \frac{1}{2}Mv_{M}^{2}$$
代入$v_{M}$的表达式，得：
$$W = \frac{1}{2}M\left(-m\sqrt{\frac{2gR}{M(M+m)}}\right)^{2} = \frac{m^{2}gR}{M+m}$$
由于所有摩擦都可忽略，系统在水平方向上不受外力作用，因此系统在水平方向上的动量守恒。设物体刚离开槽底端时，物体的速度为$v_{m}$，槽的速度为$v_{M}$，则有：
$$mv_{m} + Mv_{M} = 0$$
步骤 2：确定系统机械能守恒
物体从A点滑到B点的过程中，只有重力做功，因此系统的机械能守恒。设物体在A点的势能为$mgR$，在B点的势能为$0$，则有：
$$mgR = \frac{1}{2}mv_{m}^{2} + \frac{1}{2}Mv_{M}^{2}$$
步骤 3：联立求解
联立步骤1和步骤2中的方程，可以求解出物体和槽的速度。
$$mv_{m} + Mv_{M} = 0$$
$$mgR = \frac{1}{2}mv_{m}^{2} + \frac{1}{2}Mv_{M}^{2}$$
解得：
$$v_{m} = \sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}$$
$$v_{M} = -\frac{m}{M}v_{m} = -m\sqrt{\frac{2gR}{M(M+m)}}$$
步骤 4：计算物体对槽所做的功
物体对槽所做的功等于槽动能的增加量，即：
$$W = \frac{1}{2}Mv_{M}^{2}$$
代入$v_{M}$的表达式，得：
$$W = \frac{1}{2}M\left(-m\sqrt{\frac{2gR}{M(M+m)}}\right)^{2} = \frac{m^{2}gR}{M+m}$$