设 Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0) 且函数 f(x) 在 x = x_0 处可导，则必有（ ）。A. lim_(Delta x to 0) Delta y = 0B. Delta y = 0C. dy = 0D. Delta y = dy

本题主要考察函数可导的性质及微分、增量之间的关系，具体分析如下：

关键知识点回顾

函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导的定义是：
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \quad (\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))$
同时，可导必连续，即 $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$。

选项逐一分析

• 选项A：$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$
  由“可导必连续”的性质，函数在某点可导则必连续，而连续的定义是$\lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$，即$\lim_{\Delta x \to 0}{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x = f'(x_0)\cdot 0 = 0$，故A正确。

• 选项B：$\Delta y = 0$
  $\Delta y$是函数增量，仅当$\Delta x = 0$时$\Delta y = 0$，但$\Delta x \to 0$时$\Delta y$是无穷小量，并非恒为0，B错误。

• 选项C：$dy = 0$
  微分$dy = f'(x_0)\Delta x$，仅当$f'(x_0) = 0$或$\Delta x = 0$时$dy = 0$，题目未给出$f'(x_0) = 0$，故C错误。

• 选项D：$\Delta y = dy$
  微分$dy$是$\Delta y$的线性主部，$\Delta y = dy + o(\Delta x)$（$o(\Delta x)$是比$\Delta x$高阶的无穷小），仅当$o(\Delta x) = 0$时$\Delta y = dy$，并非恒成立，D错误。