题目
17.(本题满分11分)-|||-设总体X的概率密度为 (x,theta )= ^3)(e)^-dfrac (theta {x)},xgt 0 0, .-|||-其中θ为未知参数且大于零.X1,X2,···,Xn为来自总体X的简单随机样本.求:-|||-(1)θ的矩估计量.-|||-(2)θ的最大似然估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解总体X的期望值
根据给定的概率密度函数 $f(x,\theta )=$$\left \{ \begin{matrix} \dfrac {{\theta }^{2}}{{x}^{3}}{e}^{-\dfrac {\theta }{x}},x\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$ ，我们首先计算总体X的期望值 $EX$。期望值的计算公式为 $EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x,\theta) dx$。由于 $f(x,\theta)$ 在 $x \leq 0$ 时为0，我们只需考虑 $x > 0$ 的情况。
步骤 2：计算矩估计量
令 $EX = \overline{X}$，其中 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，即样本均值。通过解方程 $EX = \overline{X}$，我们可以得到参数 $\theta$ 的矩估计量。
步骤 3：求解最大似然估计量
首先，写出似然函数 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i, \theta)$。然后，对似然函数取对数得到对数似然函数 $\ln L(\theta)$。接着，对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于0，解出 $\theta$ 的最大似然估计值。
根据给定的概率密度函数 $f(x,\theta )=$$\left \{ \begin{matrix} \dfrac {{\theta }^{2}}{{x}^{3}}{e}^{-\dfrac {\theta }{x}},x\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$ ，我们首先计算总体X的期望值 $EX$。期望值的计算公式为 $EX = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x,\theta) dx$。由于 $f(x,\theta)$ 在 $x \leq 0$ 时为0，我们只需考虑 $x > 0$ 的情况。
步骤 2：计算矩估计量
令 $EX = \overline{X}$，其中 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，即样本均值。通过解方程 $EX = \overline{X}$，我们可以得到参数 $\theta$ 的矩估计量。
步骤 3：求解最大似然估计量
首先，写出似然函数 $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i, \theta)$。然后，对似然函数取对数得到对数似然函数 $\ln L(\theta)$。接着，对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于0，解出 $\theta$ 的最大似然估计值。