(13)(2009111)已知总体X的概率密度为-|||-f(x)= ) (x)^2x(e)^-xx,xgt 0 0, .-|||-其中 lambda gt 0 且为未知参数.X1,X 2,···,Xn为总体X的样本,求λ的矩估计量和最大似然估-|||-计量.

步骤 1：求总体X的期望
总体X的期望E(X)可以通过积分求得：
$$E(X) = \int_{0}^{\infty} x \cdot f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x \cdot \lambda^2 x e^{-\lambda x} dx$$
$$= \lambda^2 \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-\lambda x} dx$$
利用分部积分法，设$u = x^2$，$dv = e^{-\lambda x} dx$，则$du = 2x dx$，$v = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}$，代入分部积分公式：
$$E(X) = \lambda^2 \left[-\frac{x^2}{\lambda} e^{-\lambda x} \Big|_{0}^{\infty} + \frac{2}{\lambda} \int_{0}^{\infty} x e^{-\lambda x} dx\right]$$
$$= \lambda^2 \left[0 + \frac{2}{\lambda} \cdot \frac{1}{\lambda} \right] = \frac{2}{\lambda}$$
步骤 2：求矩估计量
矩估计量是通过样本矩来估计总体矩，这里我们用样本均值$\bar{X}$来估计总体期望E(X)：
$$\bar{X} = \frac{2}{\lambda}$$
解得：
$$\lambda = \frac{2}{\bar{X}}$$
步骤 3：求最大似然估计量
最大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数。似然函数为：
$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \lambda^2 x_i e^{-\lambda x_i}$$
$$= \lambda^{2n} e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i} \prod_{i=1}^{n} x_i$$
对数似然函数为：
$$\ln L(\lambda) = 2n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$
对$\lambda$求导并令导数为0：
$$\frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{2n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0$$
解得：
$$\lambda = \frac{2n}{\sum_{i=1}^{n} x_i} = \frac{2}{\bar{X}}$$