题目

用绝缘细线弯成的半圆形环,半径为R-|||-其上均匀地带正电荷Q,求圆心O点-|||-处的强度.

$\begin {aligned} &用绝缘细线弯成的半圆形环,半径为R\\&,其上均匀地带正电荷Q,求圆心O点\\&处的强度. \end {aligned}$

题目解答

答案

$\begin {aligned} &要求半圆形环上任意点产生的电场强\\&度在圆心O点的合成电场强度，我们\\&首先可以选择一个小区段dQ上的电荷\\&产生的电场强度。 \\ &首先设定半圆形环上的电荷线密度为\\&\lambda，那么有 \\ &\lambda = \frac{Q}{\pi R} \\ &取半圆环上一个小元长度d\theta对应的电\\&荷为dq，其电场强度在O点处的两个\\&分量分别为： \\ &dE_x = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{R^2}{{\cos}}\theta \end {aligned}$ $\begin {aligned} &dE_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{R^2}{{\sin}}\theta \\ &其中，dq = \lambda Rd\theta = \frac{Q}{\pi R}Rd\theta = \\&\frac{Qd\theta}{\pi}。将其代回上式得到： \\ &dE_x = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\pi R^2}{{\cos}}\theta d\theta \\ &dE_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\pi R^2}{{\sin}}\theta d\theta \\ &要求得O点的电场强度，我们需要对\\&整个半圆环上的电荷进行积分。电场\\&强度的两个分量分别为： \\ &E_x = \int_{0}^{\pi} dE_x \\&= \int_{0}^{\pi} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\pi R^2}{{\cos}}\theta d\theta\\& = \frac{Q}{4\pi^2\epsilon_0 R^2}\int_{0}^{\pi}{{\cos}}\theta d\theta \end {aligned}$ $\begin {aligned} &E_y = \int_{0}^{\pi} dE_y = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{\pi R^2}{{\sin}}\theta d\theta\\&= \frac{Q}{4\pi^2\epsilon_0 R^2}\int_{0}^{\pi}{{\sin}}\theta d\theta \\ &对上述两个式子进行积分得到： \\ &E_x = \frac{Q}{4\pi^2\epsilon_0 R^2}[ {{\sin}}\theta ]_0^\pi = 0 \\ &E_y = \frac{Q}{4\pi^2\epsilon_0 R^2}[ -{{\cos}}\theta ]_0^\pi \\&= -\frac{Q}{4\pi^2\epsilon_0 R^2} [-2] = \frac{Q}{2\pi^2\epsilon_0 R^2} \\ &所以圆心O点处的电场强度为： \\ &\vec{E} = (0, \frac{Q}{2\pi^2\epsilon_0 R^2}) \end {aligned}$