(本题10分)(5200)已知波长为的平面简谐波沿x轴负方向传播.x =  /4处质点的振动方程为=Acos dfrac (2pi )(lambda )cdot ut (SI)(1) 写出该平面简谐波的表达式..(2) 画出t = T时刻的波形图.

本题主要考查平面简谐波表达式的推导以及特定时刻波形图的绘制。解题的关键在于理解波的传播特性，根据已知已知点的振动方程推导出整个波的表达式，再将特定时刻代入表达式得到该时刻的波形方程，最后根据方程绘制波形图。

（1）求平面简谐波的表达式

• 已知$x = \frac{\lambda}{4}$处质点的振动方程为$y = A\cos\frac{2\pi ut}{\lambda}$。
• 因为波沿$x$轴负方向传播，对于波线上任一点$P$，其坐标设为$x$。根据波的传播特性，$P$点的振动落后于$x = \frac{\lambda}{4}$处质点的振动的时间为$\Delta t=\frac{\frac{\lambda}{4}-x}{u}$（因为波沿$x$轴负方向传播，$x$处质点比$x = \frac{\lambda}{4}$处质点先振动，所以用$\(\frac{\lambda}{4}-x$)除以波速$u$得到时间差）。
• 那么$P$点在$t$时刻的振动状态与$x = \frac{\lambda}{4}$处质点在$t-\Delta t$时刻的振动状态相同。
• 所以$P$点的振动方程（即波的表达式）为$y = A\cos\frac{2\pi u(t - \Delta t)}{\lambda}$，将$\Delta t=\frac{\frac{\lambda}{4}-x}{u}$代入可得：
  $\begin{align*}y&=A\cos\frac{2\pi u(t - \frac{\frac{\lambda}{4}-x}{u})}{\lambda}\\&=A\cos(\frac{2\pi ut}{\lambda}-\frac{2\pi}(\frac{\frac{\lambda}{4}-x}{\lambda}))\\&=A\cos(\frac{2\pi ut}{\lambda}-\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi x}{\lambda})\end{align*}$

（2）画出$t = T$时刻的波形图

• 因为波的周期为$T$，根据波的周期性，$t = T$时的波形和$t = 0$时波形一样。
• 当$t = 0$时，将其代入波的表达式$y = A\cos(\frac{2\pi ut}{\lambda}-\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi x}{\lambda})$中，可得：
  $\begin{align*}y&=A\cos(-\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi x}{\lambda}})\\&=A\cos(\frac{2\pi x}{\lambda}-\frac{\pi}{2})\end{align*}$
• 根据$y = A\cos(\frac{2\pi x}{\lambda}-\frac{\pi}{2})$绘制波形图，当$x = 0$时，$y = A\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$；当$x=\frac{\lambda}{4}$时，$y = A\cos(\frac{2\pi}{4}{\lambda}-\frac{\pi}{2})=A\cos(0)=A$；当$x=\frac{\lambda}{2}$时，$y = A\cos(\frac{2\pi\cdot\frac{\lambda}{2}}{\lambda}-\frac{\pi}{2})=A\cos(\pi - \frac{\pi}{2}) = 0$；当$x=\frac{3\lambda}{4}$时，$y = A\cos(\frac{2\pi\cdot\frac{3\lambda}{4}}{\lambda}-\frac{\pi}{2})=A\cos(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2})=-A$；当$x = \lambda$时，$y = A\cos(\frac{2\pi\cdot\lambda}{\lambda}-\frac{\pi}{2})=A\cos(2\pi - \frac{\pi}{2}) = 0$。根据这些特殊点可以绘制出$t = T$（即$t = 0$）时刻的波形图。