题目
讨论下列函数的有界性：(1) (x)=dfrac (x)(1+{x)^2}-|||-(2) (x)=dfrac (1+{x)^2}(1+{x)^4}
讨论下列函数的有界性：
题目解答
答案
解：
（1）因为
所以，
是有界函数.
（2）
令
，代入
有
所以，
是有界函数.
解析
步骤 1：分析函数$f(x)=\dfrac {x}{1+{x}^{2}}$
对于函数$f(x)=\dfrac {x}{1+{x}^{2}}$，我们首先观察其定义域，显然，定义域为全体实数，即$x\in \mathbb{R}$。接下来，我们分析函数的有界性。
步骤 2：证明$f(x)=\dfrac {x}{1+{x}^{2}}$是有界函数
为了证明$f(x)=\dfrac {x}{1+{x}^{2}}$是有界函数，我们需要找到一个常数$M$，使得对于所有的$x\in \mathbb{R}$，都有$|f(x)|\leqslant M$。我们注意到，$|f(x)|=|\dfrac {x}{1+{x}^{2}}|=\dfrac {|x|}{|1+{x}^{2}|}$。由于$1+{x}^{2}\geqslant 2|x|$（根据均值不等式），我们有$\dfrac {|x|}{|1+{x}^{2}|}\leqslant \dfrac {|x|}{2|x|}=\dfrac {1}{2}$。因此，$|f(x)|\leqslant \dfrac {1}{2}$，即$f(x)$是有界函数。
步骤 3：分析函数$f(x)=\dfrac {1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}$
对于函数$f(x)=\dfrac {1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}$，我们同样观察其定义域，显然，定义域为全体实数，即$x\in \mathbb{R}$。接下来，我们分析函数的有界性。
步骤 4：证明$f(x)=\dfrac {1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}$是有界函数
为了证明$f(x)=\dfrac {1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}$是有界函数，我们需要找到一个常数$M$，使得对于所有的$x\in \mathbb{R}$，都有$|f(x)|\leqslant M$。我们注意到，$|f(x)|=|\dfrac {1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}|$。令$1+{x}^{2}=t,(t\geqslant 1)$，代入$f(x)$有$|f(t)|=|\dfrac {t}{{t}^{2}+2-2t}|=\dfrac {1}{t+\dfrac {2}{t}-2}\leqslant \dfrac {1}{2\sqrt {2}-2}=\dfrac {\sqrt {2}+1}{2}$。因此，$|f(x)|\leqslant \dfrac {\sqrt {2}+1}{2}$，即$f(x)$是有界函数。
对于函数$f(x)=\dfrac {x}{1+{x}^{2}}$，我们首先观察其定义域，显然，定义域为全体实数，即$x\in \mathbb{R}$。接下来，我们分析函数的有界性。
步骤 2：证明$f(x)=\dfrac {x}{1+{x}^{2}}$是有界函数
为了证明$f(x)=\dfrac {x}{1+{x}^{2}}$是有界函数，我们需要找到一个常数$M$，使得对于所有的$x\in \mathbb{R}$，都有$|f(x)|\leqslant M$。我们注意到，$|f(x)|=|\dfrac {x}{1+{x}^{2}}|=\dfrac {|x|}{|1+{x}^{2}|}$。由于$1+{x}^{2}\geqslant 2|x|$（根据均值不等式），我们有$\dfrac {|x|}{|1+{x}^{2}|}\leqslant \dfrac {|x|}{2|x|}=\dfrac {1}{2}$。因此，$|f(x)|\leqslant \dfrac {1}{2}$，即$f(x)$是有界函数。
步骤 3：分析函数$f(x)=\dfrac {1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}$
对于函数$f(x)=\dfrac {1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}$，我们同样观察其定义域，显然，定义域为全体实数，即$x\in \mathbb{R}$。接下来，我们分析函数的有界性。
步骤 4：证明$f(x)=\dfrac {1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}$是有界函数
为了证明$f(x)=\dfrac {1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}$是有界函数，我们需要找到一个常数$M$，使得对于所有的$x\in \mathbb{R}$，都有$|f(x)|\leqslant M$。我们注意到，$|f(x)|=|\dfrac {1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}|$。令$1+{x}^{2}=t,(t\geqslant 1)$，代入$f(x)$有$|f(t)|=|\dfrac {t}{{t}^{2}+2-2t}|=\dfrac {1}{t+\dfrac {2}{t}-2}\leqslant \dfrac {1}{2\sqrt {2}-2}=\dfrac {\sqrt {2}+1}{2}$。因此，$|f(x)|\leqslant \dfrac {\sqrt {2}+1}{2}$，即$f(x)$是有界函数。