讨论下列函数的有界性：(1) (x)=dfrac (x)(1+{x)^2}-|||-(2) (x)=dfrac (1+{x)^2}(1+{x)^4}

考查要点：判断函数的有界性，即是否存在常数$M$，使得$|f(x)| \leq M$对所有$x$成立。

解题核心思路：

1. 寻找分母与分子的关系，通过不等式放缩或变量代换，将函数表达式转化为易于分析的形式。
2. 应用基本不等式（如均值不等式）或求导法，找到函数的最大值或最小值，从而确定有界性。

破题关键点：

• 第一题：利用分母$1+x^2 \geq 2|x|$，将分数化简为$\frac{1}{2}$。
• 第二题：通过变量代换$t=1+x^2$，将函数转化为关于$t$的分式，再通过求导或不等式分析最大值。

第（1）题

分母放缩

由均值不等式，对任意实数$x$，有：
$x^2 + 1 \geq 2|x|$
因此，分母$1+x^2 \geq 2|x|$。

分数化简

$\left| \frac{x}{1+x^2} \right| = \frac{|x|}{1+x^2} \leq \frac{|x|}{2|x|} = \frac{1}{2}$
当$x \neq 0$时成立；当$x=0$时，值为$0$，显然满足不等式。因此，$f(x)$有界。

第（2）题

变量代换

令$t = 1 + x^2$（$t \geq 1$），则$x^4 = (x^2)^2 = (t-1)^2$，原函数变为：
$f(t) = \frac{t}{1 + (t-1)^2} = \frac{t}{t^2 - 2t + 2}$

求导找极值

对$f(t)$求导并令导数为零：
$f'(t) = \frac{-t^2 + 2}{(t^2 - 2t + 2)^2} = 0 \implies t = \sqrt{2}$

计算最大值

当$t = \sqrt{2}$时：
$f(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 2} = \frac{\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
因此，$|f(x)| \leq \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$，函数有界。