题目

设一质点所受合外力 F_({合)} = 7i - 6j , ((N))。(1) 当质点从坐标原点运动到位矢为 r = -3i + 4j + 16k , ((m)) 处时，求 F_({合)} 所做的功；(2) 如果质点运动到位矢为 r 处时需 0.6 , (s)，试求平均功率；(3) 如果质点的质量为 1 , (kg)，试求动能的改变量。

设一质点所受合外力 $F_{\text{合}} = 7i - 6j \, \text{(N)}$。 (1) 当质点从坐标原点运动到位矢为 $r = -3i + 4j + 16k \, \text{(m)}$ 处时，求 $F_{\text{合}}$ 所做的功； (2) 如果质点运动到位矢为 $r$ 处时需 $0.6 \, \text{s}$，试求平均功率； (3) 如果质点的质量为 $1 \, \text{kg}$，试求动能的改变量。

题目解答

答案

1. 根据 $ W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{r} $，有： \[ W = 7 \times (-3) + (-6) \times 4 = -45 \, J \] 2. 平均功率为： \[ P_{\text{avg}} = \frac{W}{t} = \frac{-45}{0.6} = -75 \, W \] 3. 根据动能定理，$ \Delta K = W = -45 \, J $。 最终结果： 1. 合外力所做的功为 $ W = -45 \, J $。 2. 平均功率为 $ P_{\text{avg}} = -75 \, W $。 3. 动能的改变量为 $ \Delta K = -45 \, J $。

解析

考查要点：本题主要考查功的计算、平均功率的计算以及动能定理的应用。
解题思路：

  1. 功的计算：利用点积公式，将力与位移的对应分量相乘后求和；
  2. 平均功率：直接用功除以时间；
  3. 动能变化：根据动能定理，动能的改变量等于合外力做的功。
    关键点：
  • 点积运算中注意分量对应相乘，忽略$k$方向的分量（因力在$k$方向为0）；
  • 符号意义：负功表示物体克服合外力做功，动能减少。

第（1）题

合外力做的功
根据功的公式：
$W = \mathbf{F}_{\text{合}} \cdot \mathbf{r} = F_x r_x + F_y r_y + F_z r_z$
其中，$\mathbf{F}_{\text{合}} = 7i -6j$，$\mathbf{r} = -3i +4j +16k$。

  • $F_z = 0$，$r_z = 16$，因此$k$方向的乘积为$0 \times 16 = 0$；
  • $i$方向：$7 \times (-3) = -21$；
  • $j$方向：$-6 \times 4 = -24$；
    总功为：
    $W = -21 + (-24) + 0 = -45 \, \text{J}$

第（2）题

平均功率
平均功率公式为：
$P_{\text{avg}} = \frac{W}{t}$
代入$W = -45 \, \text{J}$，$t = 0.6 \, \text{s}$：
$P_{\text{avg}} = \frac{-45}{0.6} = -75 \, \text{W}$

第（3）题

动能的改变量
根据动能定理：
$\Delta K = W_{\text{合}}$
因此直接取第（1）题的结果：
$\Delta K = -45 \, \text{J}$