题目
-16 一人从10.0 m 深的井中提水,起始桶中装有10.0 kg 的水,由于水桶漏水,每升高1.00 m 要漏去0.20 kg 的水.水桶被匀速地从井中提到井口,求所作的功.题 3-16 图
-16 一人从10.0 m 深的井中提水,起始桶中装有10.0 kg 的水,由于水桶漏水,每升高1.00 m 要漏去0.20 kg 的水.水桶被匀速地从井中提到井口,求所作的功.
题 3-16 图
题目解答
答案
分析 由于水桶在匀速上提过程中,拉力必须始终与水桶重力相平衡.水桶重力因漏水而随提升高度而变,因此,拉力作功实为变力作功.由于拉力作功也就是克服重力的功,因此,只要能写出重力随高度变化的关系,拉力作功即可求出.
解 水桶在匀速上提过程中,a =0,拉力与水桶重力平衡,有
F +P =0
在图示所取坐标下,水桶重力随位置的变化关系为
P =mg -αgy
其中α=0.2 kg/m,人对水桶的拉力的功为
解析
步骤 1：确定水桶重力随高度变化的关系
水桶的初始质量为10.0 kg，每上升1.00 m，水桶会漏掉0.20 kg的水。因此，水桶的质量随高度y的变化关系为：
m(y) = 10.0 kg - 0.20 kg/m * y
步骤 2：计算重力随高度变化的关系
重力P(y) = m(y) * g，其中g为重力加速度，取9.8 m/s²。因此，重力随高度变化的关系为：
P(y) = (10.0 kg - 0.20 kg/m * y) * 9.8 m/s²
步骤 3：计算拉力作功
由于水桶被匀速地从井中提到井口，拉力F与重力P相平衡，即F = -P(y)。因此，拉力作功W为：
W = ∫F·dy = ∫P(y)·dy = ∫(10.0 kg - 0.20 kg/m * y) * 9.8 m/s²·dy
从y = 0到y = 10.0 m进行积分，得到：
W = 9.8 m/s² * ∫(10.0 kg - 0.20 kg/m * y)·dy = 9.8 m/s² * [10.0 kg * y - 0.10 kg/m * y²] | from 0 to 10.0 m
W = 9.8 m/s² * [10.0 kg * 10.0 m - 0.10 kg/m * (10.0 m)²] = 9.8 m/s² * (100 kg·m - 10 kg·m) = 9.8 m/s² * 90 kg·m = 882 J
水桶的初始质量为10.0 kg，每上升1.00 m，水桶会漏掉0.20 kg的水。因此，水桶的质量随高度y的变化关系为：
m(y) = 10.0 kg - 0.20 kg/m * y
步骤 2：计算重力随高度变化的关系
重力P(y) = m(y) * g，其中g为重力加速度，取9.8 m/s²。因此，重力随高度变化的关系为：
P(y) = (10.0 kg - 0.20 kg/m * y) * 9.8 m/s²
步骤 3：计算拉力作功
由于水桶被匀速地从井中提到井口，拉力F与重力P相平衡，即F = -P(y)。因此，拉力作功W为：
W = ∫F·dy = ∫P(y)·dy = ∫(10.0 kg - 0.20 kg/m * y) * 9.8 m/s²·dy
从y = 0到y = 10.0 m进行积分，得到：
W = 9.8 m/s² * ∫(10.0 kg - 0.20 kg/m * y)·dy = 9.8 m/s² * [10.0 kg * y - 0.10 kg/m * y²] | from 0 to 10.0 m
W = 9.8 m/s² * [10.0 kg * 10.0 m - 0.10 kg/m * (10.0 m)²] = 9.8 m/s² * (100 kg·m - 10 kg·m) = 9.8 m/s² * 90 kg·m = 882 J