题目
随机地取7只活塞环，测得它们的直径(以mm计)74.001 74.005 74.003 74.001 73.99374.006 74.002 试求总体均值mu及方差sigma^2的矩估计值.
随机地取7只活塞环，测得它们的直径(以mm计)
74.001 74.005 74.003 74.001 73.993
74.006 74.002 试求总体均值
$\mu$
及方差
$\sigma^{2}$
的矩估计值.
题目解答
答案
为了求出总体均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 的矩估计值，我们需要使用样本均值和样本方差。矩估计法表明，总体均值的矩估计值是样本均值，总体方差的矩估计值是样本方差。
首先，我们计算样本均值 $\bar{x}$。样本均值是所有样本值的平均数。给定的样本值是：
74.001, 74.005, 74.003, 74.001, 73.993, 74.006, 74.002
样本均值 $\bar{x}$ 的计算如下：
\[
\bar{x} = \frac{74.001 + 74.005 + 74.003 + 74.001 + 73.993 + 74.006 + 74.002}{7}
\]
将分子中的值相加：
\[
74.001 + 74.005 + 74.003 + 74.001 + 73.993 + 74.006 + 74.002 = 518.011
\]
现在，除以样本数量7：
\[
\bar{x} = \frac{518.011}{7} = 74.00157142857143 \approx 74.001571
\]
因此，总体均值 $\mu$ 的矩估计值是 $\bar{x} = 74.001571$。
接下来，我们计算样本方差 $s^2$。样本方差是样本值与样本均值之差的平方的平均数。样本方差 $s^2$ 的计算如下：
\[
s^2 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} (x_i - \bar{x})^2
\]
首先，我们计算每个样本值与样本均值之差：
\[
x_1 - \bar{x} = 74.001 - 74.001571 = -0.000571
\]
\[
x_2 - \bar{x} = 74.005 - 74.001571 = 0.003429
\]
\[
x_3 - \bar{x} = 74.003 - 74.001571 = 0.001429
\]
\[
x_4 - \bar{x} = 74.001 - 74.001571 = -0.000571
\]
\[
x_5 - \bar{x} = 73.993 - 74.001571 = -0.008571
\]
\[
x_6 - \bar{x} = 74.006 - 74.001571 = 0.004429
\]
\[
x_7 - \bar{x} = 74.002 - 74.001571 = 0.000429
\]
接下来，我们计算这些差的平方：
\[
(x_1 - \bar{x})^2 = (-0.000571)^2 = 0.000000326
\]
\[
(x_2 - \bar{x})^2 = (0.003429)^2 = 0.000011758
\]
\[
(x_3 - \bar{x})^2 = (0.001429)^2 = 0.000002042
\]
\[
(x_4 - \bar{x})^2 = (-0.000571)^2 = 0.000000326
\]
\[
(x_5 - \bar{x})^2 = (-0.008571)^2 = 0.000073461
\]
\[
(x_6 - \bar{x})^2 = (0.004429)^2 = 0.000019616
\]
\[
(x_7 - \bar{x})^2 = (0.000429)^2 = 0.000000184
\]
现在，将这些平方值相加：
\[
\sum_{i=1}^{7} (x_i - \bar{x})^2 = 0.000000326 + 0.000011758 + 0.000002042 + 0.000000326 + 0.000073461 + 0.000019616 + 0.000000184 = 0.000097693
\]
最后，除以样本数量7：
\[
s^2 = \frac{0.000097693}{7} = 0.000013956142857142857 \approx 0.0000139561
\]
因此，总体方差 $\sigma^2$ 的矩估计值是 $s^2 = 0.0000139561$。
所以，总体均值 $\mu$ 的矩估计值是 $\boxed{74.001571}$ 以及总体方差 $\sigma^2$ 的矩估计值是 $\boxed{0.0000139561}$.
解析
本题考查矩估计法求总体均值和方差的矩估计值。解题思路是根据矩估计法的原理，总体均值 $\mu$ 的矩估计值为样本均值 $\bar{x}$，总体方差 $\sigma^{2}$ 的矩估计值为样本方差 $s^{2}$。具体步骤如下：
- 计算样本均值 $\bar{x}$：
样本均值的计算公式为 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$，其中 $n$ 是样本数量，$x_{i}$ 是第 $i$ 个样本值。
已知样本值为 $74.001$，$74.005$，$74.003$，$74.001$，$73.993$，$74.006$，$74.002$，样本数量 $n = 7$。
将样本值代入公式可得：
$\begin{align*}\bar{x}&=\frac{74.001 + 74.005 + 74.003 + 74.001 + 73.993 + 74.006 + 74.002}{7}\\&=\frac{518.011}{7}\\&\approx 74.001571\end{align*}$
所以总体均值 $\mu$ 的矩估计值为 $\hat{\mu}=\bar{x}\approx 74.001571$。 - 计算样本方差 $s^{2}$：
样本方差的计算公式为 $s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$。
先计算每个样本值与样本均值之差：
$x_1 - \bar{x} = 74.001 - 74.001571 = -0.000571$
$x_2 - \bar{x} = 74.005 - 74.001571 = 0.003429$
$x_3 - \bar{x} = 74.003 - 74.001571 = 0.001429$
$x_4 - \bar{x} = 74.001 - 74.001571 = -0.000571$
$x_5 - \bar{x} = 73.993 - 74.001571 = -0.008571$
$x_6 - \bar{x} = 74.006 - 74.001571 = 0.004429$
$x_7 - \bar{x} = 74.002 - 74.001571 = 0.000429$
再计算这些差的平方：
$(x_1 - \bar{x})^2 = (-0.000571)^2 = 0.000000326$
$(x_2 - \bar{x})^2 = (0.003429)^2 = 0.000011758$
$(x_3 - \bar{x})^2 = (0.001429)^2 = 0.000002042$
$(x_4 - \bar{x})^2 = (-0.000571)^2 = 0.000000326$
$(x_5 - \bar{x})^2 = (-0.008571)^2 = 0.000073461$
$(x_6 - \bar{x})^2 = (0.004429)^2 = 0.000019616$
$(x_7 - \bar{x})^2 = (0.000429)^2 = 0.000000184$
将这些平方值相加：
$\begin{align*}\sum_{i = 1}^{7}(x_{i}-\bar{x})^{2}&=0.000000326 + 0.000011758 + 0.000002042 + 0.000000326 + 0.000073461 + 0.000019616 + 0.000000184\\&= 0.000097693\end{align*}$
最后将和除以样本数量 $n = 7$：
$s^{2}=\frac{0.000097693}{7}\approx 0.0000139561$
所以总体方差 $\sigma^{2}$ 的矩估计值为 $\hat{\sigma}^{2}=s^{2}\approx 0.0000139561$。