填空题（共3题，15.0分）3.（5.0分）某批元器件的一等品率为0.5，现随机取400件，则根据中心极限定理知其中有180到220件一等品的概率近似为_____.（Phi(2)=0.9772，Phi(x)是N(0,1)的分布函数）

为了求解这个问题，我们需要使用中心极限定理。中心极限定理指出，对于一个 sufficiently large $ n $ (样本量足够大) 的二项分布 $ B(n, p) $，可以近似地用正态分布 $ N(np, np(1-p)) $ 来表示。 在这个问题中，我们有： - $ n = 400 $ (样本量) - $ p = 0.5 $ (一等品率) 首先，我们计算 $ np $ 和 $ np(1-p) $： \[ np = 400 \times 0.5 = 200 \] \[ np(1-p) = 400 \times 0.5 \times 0.5 = 100 \] 根据中心极限定理，二项分布 $ B(400, 0.5) $ 可以近似为正态分布 $ N(200, 100) $。 我们希望求解的是有180到220件一等品的概率，即 $ P(180 \leq X \leq 220) $。 为了使用标准正态分布表，我们需要将 $ X $ 转换为标准正态变量 $ Z $。标准正态变量 $ Z $ 的计算公式为： \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] 其中 $ \mu = np = 200 $ 和 $ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100} = 10 $。 将 $ X = 180 $ 和 $ X = 220 $ 转换为 $ Z $： \[ Z_1 = \frac{180 - 200}{10} = -2 \] \[ Z_2 = \frac{220 - 200}{10} = 2 \] 现在，我们求 $ P(-2 \leq Z \leq 2) $。根据标准正态分布的对称性，有： \[ P(-2 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = \Phi(2) - (1 - \Phi(2)) = 2\Phi(2) - 1 \] 已知 $ \Phi(2) = 0.9772 $： \[ P(-2 \leq Z \leq 2) = 2 \times 0.9772 - 1 = 1.9544 - 1 = 0.9544 \] 因此，有180到220件一等品的概率近似为 $\boxed{0.9544}$。