质点的质量为 0.5(kg), 所受外力 vec(F)=(y^2-x^2)vec(i)+3xyvec(j) (SI), 初始时刻, 质点速度为零. 求 (1) 质点沿抛物线 y=x^2 由点 (0,0) 运动到点 (2,4) 的过程中外力 F 所做的功. (2) 该质点经过第一问过程的末态速度.

这是一道经典的大学物理力学题，主要考察变力做功的计算以及动能定理的应用。

已知条件：

• 质点质量 $m = 0.5\text{ kg}$
• 外力 $\vec{F} = (y^2 - x^2)\vec{i} + 3xy\vec{j}$ (SI单位)
• 初始状态：在点 $(0,0)$，初速度 $v_0 = 0$
• 运动轨迹：抛物线 $y = x^2$
• 运动过程：从点 $(0,0)$ 到点 $(2,4)$

(1) 求质点沿抛物线 $y = x^2$ 由点 $(0,0)$ 运动到点 $(2,4)$ 的过程中外力 $\vec{F}$ 所做的功。

推导过程：

根据功的定义，变力做功可以通过线积分来计算：
$W = \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot d\vec{r}$

其中，位移微元 $d\vec{r} = dx\vec{i} + dy\vec{j}$。
将给定的力 $\vec{F}$ 代入：
$\vec{F} \cdot d\vec{r} = [(y^2 - x^2)\vec{i} + 3xy\vec{j}] \cdot (dx\vec{i} + dy\vec{j})$
$\vec{F} \cdot d\vec{r} = (y^2 - x^2)dx + 3xydy$

质点沿抛物线 $y = x^2$ 运动，因此我们可以将 $y$ 和 $dy$ 用 $x$ 和 $dx$ 来表示，以便将线积分转化为定积分。
已知 $y = x^2$，对其求微分得到：
$dy = 2x dx$

将 $y = x^2$ 和 $dy = 2x dx$ 代入功的微元表达式中：
$\vec{F} \cdot d\vec{r} = ((x^2)^2 - x^2)dx + 3x(x^2)(2x dx)$
$\vec{F} \cdot d\vec{r} = (x^4 - x^2)dx + 6x^4 dx$
$\vec{F} \cdot d\vec{r} = (7x^4 - x^2)dx$

质点从点 $(0,0)$ 运动到点 $(2,4)$，对应的 $x$ 坐标是从 $0$ 变化到 $2$。因此，外力 $\vec{F}$ 所做的功 $W$ 为：
$W = \int_{0}^{2} (7x^4 - x^2) dx$

计算该定积分：
$W = \left[ 7 \cdot \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$W = \left( \frac{7}{5} \cdot 2^5 - \frac{2^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$W = \frac{7}{5} \cdot 32 - \frac{8}{3}$
$W = \frac{224}{5} - \frac{8}{3}$

为了相减，通分寻找公分母 $15$：
$W = \frac{224 \times 3}{15} - \frac{8 \times 5}{15}$
$W = \frac{672}{15} - \frac{40}{15}$
$W = \frac{632}{15} \text{ J}$

答案：
外力 $\vec{F}$ 所做的功为 $\frac{632}{15}\text{ J}$ （约等于 $42.13\text{ J}$）。

(2) 求该质点经过第一问过程的末态速度。

推导过程：

根据动能定理，合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量：
$W = \Delta E_k = E_{k末} - E_{k初}$

已知质点初始时刻速度为零，即 $v_0 = 0$，所以初动能 $E_{k初} = \frac{1}{2}mv_0^2 = 0$。
末态动能 $E_{k末} = \frac{1}{2}mv^2$，其中 $v$ 为末态速度的大小。

由第一问求得 $W = \frac{632}{15}\text{ J}$，代入动能定理公式：
$\frac{632}{15} = \frac{1}{2}mv^2 - 0$

已知质点质量 $m = 0.5\text{ kg}$，代入上式：
$\frac{632}{15} = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot v^2$
$\frac{632}{15} = 0.25 \cdot v^2$
$\frac{632}{15} = \frac{1}{4} v^2$

解出 $v^2$：
$v^2 = \frac{632}{15} \times 4$
$v^2 = \frac{2528}{15}$

计算末态速度大小 $v$：
$v = \sqrt{\frac{2528}{15}} \text{ m/s}$

化简根号内的数值：
$v = \sqrt{168.533...} \approx 12.98 \text{ m/s}$

答案：
该质点经过第一问过程的末态速度大小为 $\sqrt{\frac{2528}{15}}\text{ m/s}$ （约等于 $12.98\text{ m/s}$）。