(课本习题7.3.1)电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点,正三角形的边长是a。问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?

步骤 1：确定中心电荷的性质
为了使正三角形的三个顶点上的电荷达到平衡，中心处的电荷必须与顶点处的电荷产生相反的力。由于顶点处的电荷都是正电荷，中心处的电荷必须是负电荷，以产生吸引作用，使顶点处的电荷达到平衡。

步骤 2：计算中心电荷的电量
设中心处的电荷为$q'$，根据库仑定律，顶点处的电荷受到的力为：
$F_{1} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \dfrac{q^2}{a^2}$
中心处的电荷对顶点处的电荷产生的力为：
$F_{2} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \dfrac{q q'}{r^2}$
其中$r$是中心到顶点的距离，对于正三角形，$r = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$。
为了使顶点处的电荷达到平衡，$F_{1}$和$F_{2}$的大小相等，方向相反，即：
$F_{1} = F_{2}$
$\dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \dfrac{q^2}{a^2} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \dfrac{q q'}{r^2}$
解得：
$q' = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}q$

步骤 3：分析平衡与边长的关系
由于中心处的电荷电量$q'$与边长$a$无关，因此这种平衡与三角形的边长无关。