题目
填空题（共18题，72.0分）21. (4.0分) 设总体X服从指数分布Exp(λ)，其中λ>0是未知参数.若从该总体中抽取容量为8的样本，其观测值为：1，3，3，2，6，5，7，9，则λ的最大似然估计值为_____(请用最简分数表示，如1/3)
填空题（共18题，72.0分）
21. (4.0分) 设总体X服从指数分布Exp(λ)，其中λ>0是未知参数.若从该总体中抽取容量为8的样本，其观测值为：1，3，3，2，6，5，7，9，则λ的最大似然估计值为_____(请用最简分数表示，如1/3)
题目解答
答案
为了找到参数$\lambda$的最大似然估计值，我们首先需要写出指数分布的似然函数。指数分布的概率密度函数为：
\[ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \]
对于一个容量为8的样本，其观测值为$x_1, x_2, \ldots, x_8$，似然函数$L(\lambda)$是每个观测值的概率密度函数的乘积：
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^8 \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^8 e^{-\lambda \sum_{i=1}^8 x_i} \]
为了找到最大似然估计值，我们通常对似然函数取自然对数，以简化求导过程。对数似然函数$\ell(\lambda)$为：
\[ \ell(\lambda) = \ln L(\lambda) = \ln \left( \lambda^8 e^{-\lambda \sum_{i=1}^8 x_i} \right) = 8 \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^8 x_i \]
接下来，我们对$\ell(\lambda)$关于$\lambda$求导，并将其设为零，以找到临界点：
\[ \frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda} = \frac{8}{\lambda} - \sum_{i=1}^8 x_i \]
将导数设为零，得到：
\[ \frac{8}{\lambda} - \sum_{i=1}^8 x_i = 0 \]
解$\lambda$，我们得到：
\[ \lambda = \frac{8}{\sum_{i=1}^8 x_i} \]
现在，我们需要计算观测值的总和：
\[ \sum_{i=1}^8 x_i = 1 + 3 + 3 + 2 + 6 + 5 + 7 + 9 = 36 \]
将总和代入$\lambda$的表达式中，我们得到：
\[ \lambda = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \]
因此，$\lambda$的最大似然估计值为：
\[ \boxed{\frac{2}{9}} \]
解析
考查要点：本题主要考查指数分布的最大似然估计方法，需要掌握似然函数的构造、对数似然函数的求导以及解方程求参数估计值的步骤。
解题核心思路：
- 写出指数分布的概率密度函数，构建样本的似然函数；
- 对似然函数取对数，简化求导过程；
- 对对数似然函数求导并令导数为零，解方程得到参数的最大似然估计值；
- 代入样本数据计算，注意结果化简为最简分数。
破题关键点：
- 指数分布的参数λ是速率参数，其最大似然估计值与样本均值相关；
- 公式推导的关键在于正确求导并解方程，最终得到$\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum x_i}$。
指数分布的最大似然估计推导过程：
-
概率密度函数：
指数分布的概率密度函数为：
$f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0, \lambda > 0)$ -
似然函数：
样本观测值为$x_1, x_2, \ldots, x_8$，似然函数为各概率密度的乘积：
$L(\lambda) = \prod_{i=1}^8 \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^8 e^{-\lambda \sum_{i=1}^8 x_i}$ -
对数似然函数：
取自然对数简化计算：
$\ell(\lambda) = \ln L(\lambda) = 8 \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^8 x_i$ -
求导并解方程：
对$\lambda$求导并令导数为零：
$\frac{d\ell}{d\lambda} = \frac{8}{\lambda} - \sum_{i=1}^8 x_i = 0$
解得：
$\hat{\lambda} = \frac{8}{\sum_{i=1}^8 x_i}$ -
代入样本数据：
样本总和为：
$\sum_{i=1}^8 x_i = 1 + 3 + 3 + 2 + 6 + 5 + 7 + 9 = 36$
代入公式得：
$\hat{\lambda} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$