16.（4.0分）已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=6P(X=3)，则λ=____.

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率质量函数及其应用，以及方程求解的能力。

解题核心思路：

1. 写出泊松分布的概率公式，分别代入$X=1$和$X=3$的情况；
2. 建立方程$P(X=1) = 6P(X=3)$，通过化简消去公共因子；
3. 解方程并结合泊松分布参数$\lambda > 0$的性质确定最终解。

破题关键点：

• 正确代入泊松分布公式，注意阶乘分母的处理；
• 消去公共因子$e^{-\lambda}$简化方程；
• 排除不合理解（如$\lambda \leq 0$）。

泊松分布的概率质量函数为：
$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

根据题意，$P(X=1) = 6P(X=3)$，代入公式得：
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 6 \cdot \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$

化简方程：

1. 消去公共因子$e^{-\lambda}$：
   $\lambda = 6 \cdot \frac{\lambda^3}{6}$
   （因为$3! = 6$，分母的$6$与右边的$6$约分）
2. 整理方程：
   $\lambda = \lambda^3$
3. 移项并因式分解：
   $\lambda^3 - \lambda = 0 \implies \lambda(\lambda^2 - 1) = 0 \implies \lambda(\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0$
4. 求解：
   $\lambda = 0$，$\lambda = 1$，或$\lambda = -1$。
5. 排除不合理解：
   泊松分布的参数$\lambda > 0$，故唯一解为$\lambda = 1$。