题目
1.如图所示,原长L0为100cm的轻质弹簧放置在一光滑的直-|||-槽内,弹簧的一端固定在槽的O端,另一端连接一小球,这一装置可-|||-从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置.设弹簧的形变总是在-|||-其弹性限度内,试在下述(1)、(2)两种情况下,分别求出这种装置从 ha-|||-原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水-|||-平面的高度h0. 00000-|||-0 Lo-|||-(1)在转动过程中,发现小球距原水平面的高度变化出现极大-|||-值,且极大值 _(m)=40cm;-|||-(2)在转动过程中,发现小球离原水平面的高度不断增大.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析小球在转动过程中的受力情况
小球在转动过程中受到弹簧的弹力和重力的作用。由于装置缓缓转动，小球在每个位置都处于平衡状态，因此可以利用平衡条件来分析小球的高度变化。
步骤 2：建立小球高度与转动角度的关系
设小球质量为m，弹簧劲度系数为k，当槽转至倾角θ时，球的高度为h。根据胡克定律，弹簧的弹力为 $k({L}_{0}-\dfrac {h}{\sin \theta })$，而重力沿斜面的分量为 $mg\sin \theta$。由于小球处于平衡状态，有：
$$k({L}_{0}-\dfrac {h}{\sin \theta })=mg\sin \theta$$
解得：
$$h=-({L}_{0}-{h}_{0}){\sin }^{2}\theta +{L}_{0}\sin \theta$$
其中，${h}_{0}$是小球在竖直位置时的高度。
步骤 3：求解小球高度的极大值
将上式改写为：
$$h=-({L}_{0}-{h}_{0}){[ \sin \theta -\dfrac {{L}_{0}}{2({L}_{0}-{h}_{0})}] }^{2}+\dfrac {{{L}_{0}}^{2}}{4({L}_{0}-{h}_{0})}$$
由上式可知，当 $\sin \theta =\dfrac {{L}_{0}}{2({L}_{0}-{h}_{0})}$ 时，h有极大值 ${h}_{m}$。由此得：
$${h}_{m}=\dfrac {{{L}_{0}}^{2}}{4({L}_{0}-{h}_{0})}$$
代入 ${h}_{m}=40cm$ 和 ${L}_{0}=100cm$，解得：
$${h}_{0}=37.5cm$$
步骤 4：分析小球高度不断增大的条件
由步骤3中的公式可知，当 $\dfrac {{L}_{0}}{2({L}_{0}-{h}_{0})}\geqslant 1$ 时，小球的高度随θ的增大一直不断增大。由此得：
$${h}_{0}\geqslant \dfrac {{L}_{0}}{2}$$
代入 ${L}_{0}=100cm$，得：
$$50cm\leqslant {h}_{0}\lt 100cm$$
小球在转动过程中受到弹簧的弹力和重力的作用。由于装置缓缓转动，小球在每个位置都处于平衡状态，因此可以利用平衡条件来分析小球的高度变化。
步骤 2：建立小球高度与转动角度的关系
设小球质量为m，弹簧劲度系数为k，当槽转至倾角θ时，球的高度为h。根据胡克定律，弹簧的弹力为 $k({L}_{0}-\dfrac {h}{\sin \theta })$，而重力沿斜面的分量为 $mg\sin \theta$。由于小球处于平衡状态，有：
$$k({L}_{0}-\dfrac {h}{\sin \theta })=mg\sin \theta$$
解得：
$$h=-({L}_{0}-{h}_{0}){\sin }^{2}\theta +{L}_{0}\sin \theta$$
其中，${h}_{0}$是小球在竖直位置时的高度。
步骤 3：求解小球高度的极大值
将上式改写为：
$$h=-({L}_{0}-{h}_{0}){[ \sin \theta -\dfrac {{L}_{0}}{2({L}_{0}-{h}_{0})}] }^{2}+\dfrac {{{L}_{0}}^{2}}{4({L}_{0}-{h}_{0})}$$
由上式可知，当 $\sin \theta =\dfrac {{L}_{0}}{2({L}_{0}-{h}_{0})}$ 时，h有极大值 ${h}_{m}$。由此得：
$${h}_{m}=\dfrac {{{L}_{0}}^{2}}{4({L}_{0}-{h}_{0})}$$
代入 ${h}_{m}=40cm$ 和 ${L}_{0}=100cm$，解得：
$${h}_{0}=37.5cm$$
步骤 4：分析小球高度不断增大的条件
由步骤3中的公式可知，当 $\dfrac {{L}_{0}}{2({L}_{0}-{h}_{0})}\geqslant 1$ 时，小球的高度随θ的增大一直不断增大。由此得：
$${h}_{0}\geqslant \dfrac {{L}_{0}}{2}$$
代入 ${L}_{0}=100cm$，得：
$$50cm\leqslant {h}_{0}\lt 100cm$$