题目
如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2：Δt1为（ ）A. （sqrt(3)-1）：（sqrt(2)-1）B. （sqrt(3)-sqrt(2)）：（sqrt(2)-1）C. （sqrt(3)+1）：（sqrt(2)+1）D. （sqrt(3)+sqrt(2)）：（sqrt(2)+1）
如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A点的时间间隔为Δt1；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为Δt2。Δt2：Δt1为（ ）- A. $（\sqrt{3}-1）：（\sqrt{2}-1）$
- B. $（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：（\sqrt{2}-1）$
- C. $（\sqrt{3}+1）：（\sqrt{2}+1）$
- D. $（\sqrt{3}+\sqrt{2}）：（\sqrt{2}+1）$
题目解答
答案
A. $（\sqrt{3}-1）：（\sqrt{2}-1）$
解析
步骤 1：确定木板在斜面上的运动性质
木板在固定的光滑斜面上由静止释放，因此木板在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动。设斜面的倾角为θ，加速度为a，根据牛顿第二定律，有mgsinθ=ma，解得a=gsinθ。
步骤 2：计算木板长度为L时通过A点的时间间隔
设木板前端到达A点的时间为t_0，木板后端通过A点的时间为t_1。根据运动学公式，有$L=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$，$2L=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$。联立解得${t}_{1}=\sqrt{2}{t}_{0}$。因此，木板通过A点的时间间隔$Δ{t}_{1}={t}_{1}-{t}_{0}=（\sqrt{2}-1）{t}_{0}$。
步骤 3：计算木板长度为2L时通过A点的时间间隔
设木板后端通过A点的时间为t_2，根据运动学公式，有$3L=\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$。联立解得${t}_{2}=\sqrt{3}{t}_{0}$。因此，木板通过A点的时间间隔$Δ{t}_{2}={t}_{2}-{t}_{0}=（\sqrt{3}-1）{t}_{0}$。
步骤 4：计算Δt_2：Δt_1的比值
根据步骤2和步骤3的结果，有$Δ{t}_{2}：Δ{t}_{1}=（\sqrt{3}-1）{t}_{0}：（\sqrt{2}-1）{t}_{0}=（\sqrt{3}-1）：（\sqrt{2}-1）$。
木板在固定的光滑斜面上由静止释放，因此木板在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动。设斜面的倾角为θ，加速度为a，根据牛顿第二定律，有mgsinθ=ma，解得a=gsinθ。
步骤 2：计算木板长度为L时通过A点的时间间隔
设木板前端到达A点的时间为t_0，木板后端通过A点的时间为t_1。根据运动学公式，有$L=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$，$2L=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$。联立解得${t}_{1}=\sqrt{2}{t}_{0}$。因此，木板通过A点的时间间隔$Δ{t}_{1}={t}_{1}-{t}_{0}=（\sqrt{2}-1）{t}_{0}$。
步骤 3：计算木板长度为2L时通过A点的时间间隔
设木板后端通过A点的时间为t_2，根据运动学公式，有$3L=\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$。联立解得${t}_{2}=\sqrt{3}{t}_{0}$。因此，木板通过A点的时间间隔$Δ{t}_{2}={t}_{2}-{t}_{0}=（\sqrt{3}-1）{t}_{0}$。
步骤 4：计算Δt_2：Δt_1的比值
根据步骤2和步骤3的结果，有$Δ{t}_{2}：Δ{t}_{1}=（\sqrt{3}-1）{t}_{0}：（\sqrt{2}-1）{t}_{0}=（\sqrt{3}-1）：（\sqrt{2}-1）$。