一电流元 Idl 位于直角坐标系的原点，电流沿 z 轴正方向，则空间点 P(x, y, z) 的磁感应强度 B 沿 x 轴的分量为( ).A. 0B. -(mu_0 I)/(4pi) (x , dl)/((x^2 + y^2 + z^2)^3/2)C. -(mu_0 I)/(4pi) (y , dl)/((x^2 + y^2 + z^2)^3/2)D. -(mu_0 I)/(4pi) (z , dl)/((x^2 + y^2 + z^2)^3/2)

本题考查毕奥 - 萨伐尔定律的应用，解题思路是先根据毕奥 - 萨伐尔定律写出电流元在空间点产生的磁感应强度表达式，再将其分解到坐标轴上，从而得到沿$x$轴的分量。

步骤一：明确毕奥 - 萨伐尔定律

毕奥 - 萨伐尔定律指出，电流元$Id\vec{l}$在空间某点$P$产生的磁感应强度$d\vec{B}$的大小为$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl\sin\theta}{r^2}$，其中$\mu_0$是真空磁导率，$r$是电流元到点$P$的距离，$\theta$是电流元$Id\vec{l}$与矢径$\vec{r}$的夹角，$d\vec{B}$的方向由右手螺旋定则确定。其矢量表达式为$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$。

步骤二：确定相关物理量

已知电流元$Id\vec{l}$位于原点，电流沿$z$轴正方向，则$Id\vec{l} = Idl\vec{k}$（$\vec{k}$是$z$轴正方向的单位矢量）。空间点$P(x, y, z)$的矢径$\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$（$\vec{i}$、$\vec{j}$分别是$x$轴、$y$轴正方向的单位矢量），$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。

步骤三：计算$Id\vec{l} \times \vec{r}$

根据矢量叉乘的运算规则：
$\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$，$\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$，$\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$，$\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = 0$。
则$Id\vec{l} \times \vec{r} = Idl\vec{k} \times (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) = Idl(x\vec{k} \times \vec{i} + y\vec{k} \times \vec{j} + z\vec{k} \times \vec{k}) = Idl(x\vec{j} - y\vec{i})$。

步骤四：计算$d\vec{B}$

将$Id\vec{l} \times \vec{r} = Idl(x\vec{j} - y\vec{i})$和$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$代入$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$，可得：
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl(x\vec{j} - y\vec{i})}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$。

步骤五：得到$d\vec{B}$沿$x$轴的分量

由上式可知，$d\vec{B}$沿$x$轴的分量$B_x = -\frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{y \, dl}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$。