题目
如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°的斜面体，物体A以某一初速度从斜面体底端沿斜面向上抛出，在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出．A、B均可看作质点，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2．（1）若斜面体表面光滑，将A物体以v1=6m/s的初速度抛出，求物体A上滑到最高点所用的时间t．（2）在第（1）问条件下，将A、B同时抛出，当A上滑到最高点时恰好被B物体击中，求物体B抛出时的初速度v2．（3）若斜面体表面粗糙且足够长，物体A与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，物体A从最低点以v3=10m/s的初速度沿斜面向上抛出，B仍以初速度v2水平抛出，为使B抛出后仍能击中A，求A、B开始运动时相差的时间间隔 （结果可保留根号）．
如图所示，在水平地面上固定一倾角θ=37°的斜面体，物体A以某一初速度从斜面体底端沿斜面向上抛出，在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出．A、B均可看作质点，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2．（1）若斜面体表面光滑，将A物体以v1=6m/s的初速度抛出，求物体A上滑到最高点所用的时间t．
（2）在第（1）问条件下，将A、B同时抛出，当A上滑到最高点时恰好被B物体击中，求物体B抛出时的初速度v2．
（3）若斜面体表面粗糙且足够长，物体A与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，物体A从最低点以v3=10m/s的初速度沿斜面向上抛出，B仍以初速度v2水平抛出，为使B抛出后仍能击中A，求A、B开始运动时相差的时间间隔 （结果可保留根号）．
题目解答
答案
解：（1）对A，根据牛顿第二定律得，$a=\frac{{m}_{A}gsinθ}{{m}_{A}}=gsin37°=6m/{s}^{2}$．
根据速度时间公式得，$t=\frac{{v}_{1}}{a}=\frac{6}{6}s=1s$．
（2）A上滑的最大位移$s=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a}=\frac{{6}^{2}}{2×6}m=3m$．
对B：x=scosθ=3×0.8m=2.4m．
则B的初速度：${v}_{2}=\frac{x}{t}=2.4m/s$．
（3）A沿斜面上滑：
根据牛顿第二定律得，${a}_{1}=g（sinθ+μcosθ）=10m/{s}^{2}$．
根据速度位移公式得，${{v}_{3}}^{2}-{{v}_{4}}^{2}=2{a}_{1}s$
所以${v}_{4}=\sqrt{{{v}_{3}}^{2}-2{a}_{1}s}=2\sqrt{10}m/s$．
所以${t}_{1}=\frac{{v}_{3}-{v}_{4}}{{a}_{1}}=\frac{10-2\sqrt{10}}{10}s=（1-\frac{\sqrt{10}}{5}）s$．
要使A、B相遇，B可超前A抛出，
超前时间$△{t}_{1}=t-{t}_{1}=\frac{\sqrt{10}}{5}s$
A从抛出到滑到最高点：${t}_{1}′=\frac{{v}_{3}}{{a}_{1}}=\frac{10}{10}s=1s$．
${s}_{1}=\frac{{{v}_{3}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{1{0}^{2}}{2×10}m=5m$
A从最高点下滑：
${a}_{2}=g（sinθ-μcosθ）=2m/{s}^{2}$．
s2=s1-s=2m
${t}_{2}′=\sqrt{\frac{2{s}_{2}}{{a}_{2}}}=\sqrt{\frac{2×2}{2}}s=\sqrt{2}s$．
所以${t}_{2}={t}_{1}′+{t}_{2}′=（1+\sqrt{2}）s$
要使AB相遇，B可落后A抛出，
落后时间$△{t}_{2}={t}_{2}-t=\sqrt{2}s$
答：（1）物体A上滑到最高点所用的时间为1s．
（2）物体B抛出时的初速度为2.4m/s．
（3）A、B开始运动时相差的时间间隔为$\frac{\sqrt{10}}{5}s$或$\sqrt{2}s$．
根据速度时间公式得，$t=\frac{{v}_{1}}{a}=\frac{6}{6}s=1s$．
（2）A上滑的最大位移$s=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a}=\frac{{6}^{2}}{2×6}m=3m$．
对B：x=scosθ=3×0.8m=2.4m．
则B的初速度：${v}_{2}=\frac{x}{t}=2.4m/s$．
（3）A沿斜面上滑：
根据牛顿第二定律得，${a}_{1}=g（sinθ+μcosθ）=10m/{s}^{2}$．
根据速度位移公式得，${{v}_{3}}^{2}-{{v}_{4}}^{2}=2{a}_{1}s$
所以${v}_{4}=\sqrt{{{v}_{3}}^{2}-2{a}_{1}s}=2\sqrt{10}m/s$．
所以${t}_{1}=\frac{{v}_{3}-{v}_{4}}{{a}_{1}}=\frac{10-2\sqrt{10}}{10}s=（1-\frac{\sqrt{10}}{5}）s$．
要使A、B相遇，B可超前A抛出，
超前时间$△{t}_{1}=t-{t}_{1}=\frac{\sqrt{10}}{5}s$
A从抛出到滑到最高点：${t}_{1}′=\frac{{v}_{3}}{{a}_{1}}=\frac{10}{10}s=1s$．
${s}_{1}=\frac{{{v}_{3}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{1{0}^{2}}{2×10}m=5m$
A从最高点下滑：
${a}_{2}=g（sinθ-μcosθ）=2m/{s}^{2}$．
s2=s1-s=2m
${t}_{2}′=\sqrt{\frac{2{s}_{2}}{{a}_{2}}}=\sqrt{\frac{2×2}{2}}s=\sqrt{2}s$．
所以${t}_{2}={t}_{1}′+{t}_{2}′=（1+\sqrt{2}）s$
要使AB相遇，B可落后A抛出，
落后时间$△{t}_{2}={t}_{2}-t=\sqrt{2}s$
答：（1）物体A上滑到最高点所用的时间为1s．
（2）物体B抛出时的初速度为2.4m/s．
（3）A、B开始运动时相差的时间间隔为$\frac{\sqrt{10}}{5}s$或$\sqrt{2}s$．