某人测得一静止棒长为l、质量为m，于是求得此棒的线密度为ρ=(m)/(l)。（1）假定此棒以速度v在棒长方向上运动，此人再测棒的线密度应为多少？（2）若棒在垂直长度方向上运动，它的线密度又为多少？

考查要点：本题主要考查狭义相对论中的长度收缩效应和质量相对性，以及如何结合两者计算线密度的变化。

解题核心思路：

1. 线密度定义为质量与长度的比值，需分别分析运动对质量、长度的影响。
2. 沿棒长方向运动时，长度发生收缩，质量增加；垂直方向运动时，长度不变，质量仍增加。
3. 关键公式：
   • 长度收缩：$l' = l \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$（仅沿运动方向）
   • 质量增加：$m' = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
   • 线密度：$\rho = \frac{m}{l}$

第（1）题

分析运动对长度的影响

当棒沿自身长度方向运动时，根据长度收缩效应，测得长度为：
$l' = l \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

分析运动对质量的影响

根据相对论质量公式，测得质量为：
$m' = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

计算线密度

将质量与长度代入线密度公式：
$\rho' = \frac{m'}{l'} = \frac{\frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}{l \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{m}{l} \cdot \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{\rho}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

第（2）题

分析运动对长度的影响

当棒垂直长度方向运动时，长度不变，即：
$l'' = l$

分析运动对质量的影响

质量仍因运动而增加：
$m'' = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

计算线密度

将质量与长度代入线密度公式：
$\rho'' = \frac{m''}{l''} = \frac{\frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}{l} = \frac{m}{l} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{\rho}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$