15.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinB=sqrt(3)bcosA，c-2b=1，a=sqrt(7).(1)求A的值;(2)求c的值;(3)求sin(A+2B)的值.

为了解决给定的问题，我们将分步骤进行。

第一步：求 $A$ 的值

已知方程 $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$，我们可以使用正弦定理，该定理表明 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。因此，我们可以将 $b$ 表达为 $b = \frac{a \sin B}{\sin A}$。将此代入给定的方程，我们得到：
$a \sin B = \sqrt{3} \left( \frac{a \sin B}{\sin A} \right) \cos A$
我们可以从两边消去 $a \sin B$（假设 $a \sin B \neq 0$）：
$1 = \sqrt{3} \frac{\cos A}{\sin A}$
这简化为：
$1 = \sqrt{3} \cot A$
因此，我们有：
$\cot A = \frac{1}{\sqrt{3}}$
这意味着：
$\tan A = \sqrt{3}$
在区间 $(0, \pi)$ 中，满足此条件的角 $A$ 是：
$A = \frac{\pi}{3}$

第二步：求 $c$ 的值

现在我们知道 $A = \frac{\pi}{3}$，我们可以使用余弦定理，该定理表明：
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
将 $a = \sqrt{7}$ 和 $\cos A = \frac{1}{2}$ 代入，我们得到：
$7 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \frac{1}{2}$
这简化为：
$7 = b^2 + c^2 - bc$
我们还知道 $c - 2b = 1$，所以我们可以将 $c$ 表达为 $c = 2b + 1$。将此代入方程，我们得到：
$7 = b^2 + (2b + 1)^2 - b(2b + 1)$
展开并简化，我们得到：
$7 = b^2 + 4b^2 + 4b + 1 - 2b^2 - b$
$7 = 3b^2 + 3b + 1$
从两边减去7，我们得到：
$0 = 3b^2 + 3b - 6$
将整个方程除以3，我们得到：
$0 = b^2 + b - 2$
对二次方程进行因式分解，我们得到：
$0 = (b + 2)(b - 1)$
因此，解为 $b = -2$ 或 $b = 1$。由于 $b$ 是长度，它必须是正数，所以 $b = 1$。将 $b = 1$ 代回方程 $c = 2b + 1$，我们得到：
$c = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

第三步：求 $\sin(A + 2B)$ 的值

首先，我们需要找到 $\sin B$ 和 $\cos B$。使用正弦定理：
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
我们代入 $a = \sqrt{7}$， $A = \frac{\pi}{3}$，和 $b = 1$：
$\frac{\sqrt{7}}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sin B}$
$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sin B}$
$\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sin B}$
$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$
接下来，我们找到 $\cos B$ 使用毕达哥拉斯恒等式 $\cos^2 B + \sin^2 B = 1$：
$\cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - \left( \frac{\sqrt{21}}{14} \right)^2 = 1 - \frac{21}{196} = \frac{175}{196}$
$\cos B = \sqrt{\frac{175}{196}} = \frac{\sqrt{175}}{14} = \frac{5\sqrt{7}}{14}$
现在，我们找到 $\sin 2B$ 和 $\cos 2B$：
$\sin 2B = 2 \sin B \cos B = 2 \cdot \frac{\sqrt{21}}{14} \cdot \frac{5\sqrt{7}}{14} = \frac{10\sqrt{147}}{196} = \frac{10 \cdot 7\sqrt{3}}{196} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$
$\cos 2B = \cos^2 B - \sin^2 B = \left( \frac{5\sqrt{7}}{14} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{21}}{14} \right)^2 = \frac{175}{196} - \frac{21}{196} = \frac{154}{196} = \frac{11}{14}$
最后，我们找到 $\sin(A + 2B)$：
$\sin(A + 2B) = \sin A \cos 2B + \cos A \sin 2B = \sin \frac{\pi}{3} \cos 2B + \cos \frac{\pi}{3} \sin 2B = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{11}{14} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{14} = \frac{11\sqrt{3}}{28} + \frac{5\sqrt{3}}{28} = \frac{16\sqrt{3}}{28} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$
因此， $\sin(A + 2B)$ 的值是：
$\boxed{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$