题目
设总体 X，X_1, X_2, ..., X_n 是取自总体 X 的一个样本，overline(X) 为样本均值，则不是总体期望 mu 的无偏估计量的是A. overline(X)B. X_1 + X_2 - X_3C. 0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3D. sum_(i=1)^n X_i
设总体 $X$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的一个样本，$\overline{X}$ 为样本均值，则不是总体期望 $\mu$ 的无偏估计量的是
A. $\overline{X}$
B. $X_1 + X_2 - X_3$
C. $0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3$
D. $\sum_{i=1}^{n} X_i$
题目解答
答案
D. $\sum_{i=1}^{n} X_i$
解析
步骤 1：理解无偏估计量的定义
无偏估计量是指其期望值等于被估计参数的估计量。对于总体期望 $\mu$ 的无偏估计量，其期望值应等于 $\mu$。
步骤 2：分析选项A
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，其期望值 $E(\overline{X}) = \mu$，因此 $\overline{X}$ 是无偏估计量。
步骤 3：分析选项B
$E(X_1 + X_2 - X_3) = E(X_1) + E(X_2) - E(X_3) = \mu + \mu - \mu = \mu$，因此 $X_1 + X_2 - X_3$ 是无偏估计量。
步骤 4：分析选项C
$E(0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3) = 0.2E(X_1) + 0.3E(X_2) + 0.5E(X_3) = (0.2 + 0.3 + 0.5)\mu = \mu$，因此 $0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3$ 是无偏估计量。
步骤 5：分析选项D
$E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = n\mu$，只有当 $n=1$ 时，$E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \mu$，因此 $\sum_{i=1}^{n} X_i$ 不是无偏估计量。
无偏估计量是指其期望值等于被估计参数的估计量。对于总体期望 $\mu$ 的无偏估计量，其期望值应等于 $\mu$。
步骤 2：分析选项A
样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$，其期望值 $E(\overline{X}) = \mu$，因此 $\overline{X}$ 是无偏估计量。
步骤 3：分析选项B
$E(X_1 + X_2 - X_3) = E(X_1) + E(X_2) - E(X_3) = \mu + \mu - \mu = \mu$，因此 $X_1 + X_2 - X_3$ 是无偏估计量。
步骤 4：分析选项C
$E(0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3) = 0.2E(X_1) + 0.3E(X_2) + 0.5E(X_3) = (0.2 + 0.3 + 0.5)\mu = \mu$，因此 $0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3$ 是无偏估计量。
步骤 5：分析选项D
$E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = n\mu$，只有当 $n=1$ 时，$E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \mu$，因此 $\sum_{i=1}^{n} X_i$ 不是无偏估计量。