3.【2024全国甲，理21】(12分)已知函数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x.(1)当a=-2时，求f(x)的极值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.

为了解决给定的问题，我们需要分析函数 $f(x) = (1-ax)\ln(1+x) - x$ 在 $a = -2$ 的情况下，然后确定 $a$ 的取值范围，使得 $f(x) \ge 0$ 对于 $x \ge 0$ 成立。

第一部分：当 $a = -2$ 时，求 $f(x)$ 的极值

首先，将 $a = -2$ 代入函数：
$f(x) = (1 + 2x)\ln(1 + x) - x.$

接下来，我们需要通过求 $f(x)$ 的导数并将其设为零来找到临界点。使用乘积法则，我们得到：
$f'(x) = 2\ln(1 + x) + (1 + 2x) \cdot \frac{1}{1 + x} - 1 = 2\ln(1 + x) + \frac{1 + 2x}{1 + x} - 1 = 2\ln(1 + x) + \frac{1 + 2x - 1 - x}{1 + x} = 2\ln(1 + x) + \frac{x}{1 + x}.$

设 $f'(x) = 0$：
$2\ln(1 + x) + \frac{x}{1 + x} = 0.$

这个方程直接求解复杂，因此我们可以通过检查 $f'(x)$ 的行为来分析它。让我们在一些点上评估 $f'(x)$：

• 在 $x = 0$ 处，$f'(0) = 2\ln(1) + \frac{0}{1} = 0$.

因此，$x = 0$ 是一个临界点。为了确定这个临界点的性质，我们可以使用二阶导数测试。首先，找到 $f''(x)$：
$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(2\ln(1 + x) + \frac{x}{1 + x}\right) = \frac{2}{1 + x} + \frac{(1 + x) - x}{(1 + x)^2} = \frac{2}{1 + x} + \frac{1}{(1 + x)^2} = \frac{2(1 + x) + 1}{(1 + x)^2} = \frac{2x + 3}{(1 + x)^2}.$

在 $x = 0$ 处评估 $f''(x)$：
$f''(0) = \frac{3}{1^2} = 3 > 0.$

由于 $f''(0) > 0$，$x = 0$ 是一个局部最小值。现在，我们在 $x = 0$ 处评估 $f(x)$：
$f(0) = (1 + 2 \cdot 0)\ln(1 + 0) - 0 = 0.$

因此，当 $a = -2$ 时，$f(x)$ 的极值是一个局部最小值 $0$ 在 $x = 0$ 处。

第二部分：当 $x \ge 0$ 时，$f(x) \ge 0$，求 $a$ 的取值范围

我们需要找到 $a$ 的取值范围，使得 $f(x) = (1 - ax)\ln(1 + x) - x \ge 0$ 对于 $x \ge 0$ 成立。首先，检查 $x = 0$ 处的 $f(x)$：
$f(0) = (1 - a \cdot 0)\ln(1 + 0) - 0 = 0.$

因此，$f(0) = 0$ 对于任何 $a$ 都成立。现在，我们需要确保 $f(x) \ge 0$ 对于 $x > 0$ 成立。考虑 $f(x)$ 的导数：
$f'(x) = -a\ln(1 + x) + (1 - ax) \cdot \frac{1}{1 + x} - 1 = -a\ln(1 + x) + \frac{1 - ax}{1 + x} - 1 = -a\ln(1 + x) + \frac{1 - ax - 1 - x}{1 + x} = -a\ln(1 + x) + \frac{-x(a + 1)}{1 + x} = -a\ln(1 + x) - \frac{x(a + 1)}{1 + x}.$

为了使 $f(x) \ge 0$ 对于 $x \ge 0$ 成立，$f'(x)$ 在 $x = 0$ 附近应该非负。在 $x = 0$ 处评估 $f'(x)$：
$f'(0) = -a\ln(1) - \frac{0(a + 1)}{1} = 0.$

这没有提供关于 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 附近的符号的信息。让我们考虑 $f(x)$ 的二阶导数：
$f''(x) = \frac{d}{dx}\left(-a\ln(1 + x) - \frac{x(a + 1)}{1 + x}\right) = -\frac{a}{1 + x} - \frac{(a + 1)(1 + x) - x(a + 1)}{(1 + x)^2} = -\frac{a}{1 + x} - \frac{a + 1}{(1 + x)^2} = -\frac{a(1 + x) + (a + 1)}{(1 + x)^2} = -\frac{ax + 2a + 1}{(1 + x)^2}.$

为了使 $f(x) \ge 0$ 对于 $x \ge 0$ 成立，$f''(x)$ 在 $x = 0$ 处应该非负：
$f''(0) = -\frac{2a + 1}{1^2} = -2a - 1 \ge 0 \implies -2a \ge 1 \implies a \le -\frac{1}{2}.$

为了确认 $a = -\frac{1}{2}$ 是边界，我们可以将 $a = -\frac{1}{2}$ 代回 $f(x)$：
$f(x) = \left(1 + \frac{1}{2}x\right)\ln(1 + x) - x.$

我们已经知道 $f(0) = 0$。对于 $x > 0$，我们可以使用 $\ln(1 + x) \ge \frac{x}{1 + x/2}$（一个已知的不等式）：
$f(x) = \left(1 + \frac{1}{2}x\right)\ln(1 + x) - x \ge \left(1 + \frac{1}{2}x\right) \cdot \frac{x}{1 + \frac{1}{2}x} - x = x - x = 0.$

因此，$f(x) \ge 0$ 对于 $x \ge 0$ 和 $a \le -\frac{1}{2}$ 成立。

$a$ 的取值范围是 $\boxed{(-\infty, -\frac{1}{2}]}$.