设矩形D = [0, 4] times [0, 1]，则iint_(D) min(x, y), dx , dy = ( ). A (2)/(3) B (11)/(6). C (4)/(3). D (11)/(3)

为了计算二重积分 $\iint\limits_{D} \min(x,y) \, dx \, dy$，其中 $D = [0,4] \times [0,1]$，我们需要根据 $x$ 和 $y$ 的关系将积分区域 $D$ 分成两部分，因为 $\min(x,y)$ 的值取决于 $x$ 和 $y$ 的相对大小。 1. 当 $0 \leq y \leq x$ 时，$\min(x,y) = y$。 2. 当 $y > x$ 时，$\min(x,y) = x$。 但是，由于 $D = [0,4] \times [0,1]$，在这个矩形区域内，$y$ 的最大值为 1，而 $x$ 的最大值为 4，因此 $y > x$ 的情况只在 $0 \leq x \leq 1$ 时可能发生。所以，我们可以将积分区域 $D$ 分为两部分： - $D_1 = \{(x,y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\}$，在这个区域内，$\min(x,y) = y$。 - $D_2 = \{(x,y) | 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 1\} \cup \{(x,y) | 1 \leq x \leq 4, 0 \leq y \leq 1\}$，在这个区域内，$\min(x,y) = x$（注意，对于 $1 \leq x \leq 4$ 的部分，$\min(x,y) = y$，但因为 $y$ 的最大值为 1，所以这部分实际上总是 $\min(x,y) = y$，但由于 $y$ 的范围是 $[0,1]$，这部分可以简化为 $\min(x,y) = y$，但根据定义，这部分应为 $\min(x,y) = x$，因为 $x$ 总是大于 $y$）。 因此，原积分可以写为两个积分的和： \[ \iint\limits_{D} \min(x,y) \, dx \, dy = \iint\limits_{D_1} y \, dx \, dy + \iint\limits_{D_2} x \, dx \, dy \] 计算 $D_1$ 上的积分： \[ \iint\limits_{D_1} y \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} y \, dy \, dx = \int_{0}^{1} \left[\frac{1}{2}y^2\right]_{0}^{x} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^2 \, dx = \left[\frac{1}{6}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} \] 计算 $D_2$ 上的积分，这里 $D_2$ 可以进一步分为两部分计算，但因为 $1 \leq x \leq 4$ 时，$\min(x,y) = y$，这部分积分实际上为 0（因为 $y$ 的最大值为 1，这部分区域对积分的贡献为 0），所以我们只需计算 $0 \leq x \leq 1$ 时的部分： \[ \iint\limits_{D_2} x \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{x}^{1} x \, dy \, dx = \int_{0}^{1} x(1-x) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \] 对于 $1 \leq x \leq 4$ 的部分，因为 $\min(x,y) = y$，这部分的积分可以计算为： \[ \int_{1}^{4} \int_{0}^{1} y \, dy \, dx = \int_{1}^{4} \left[\frac{1}{2}y^2\right]_{0}^{1} \, dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{2} \, dx = \left[\frac{1}{2}x\right]_{1}^{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] 将这两部分相加，我们得到： \[ \iint\limits_{D} \min(x,y) \, dx \, dy = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{3}{2} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2}{6} + \frac{9}{6} = \frac{11}{6} \] 因此，正确答案是 **B $\frac{11}{6}$**。